ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

Кафедра «Стандартизация, метрология и сертификация»

Проф. Грибанов Д.Д.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению лабораторно-практической работы № 5 М

«Методы обработки результатов прямых многократных

равнорассеянных измерений»

по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

для студентов всех специальностей университета

Редактор

Заф. кафедрой «СМиС»

профессор Зайцев С.А.

Москва 2008 г.

профессор, к.т.н. Грибанов Д.Д.

Настоящие методические указания предназначены для выполнения лабораторно-практической работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» студентами очного, очно-заочного и заочного отделения МГТУ «МАМИ».

В работе представлены методы обработки результатов прямых многократных равнорассеянных измерений физических величин, включающих грубые, случайные и систематические погрешности результатов измерений.

Методические указания преследуют цель помочь студентам освоить методику определения наличия грубых погрешностей прямых многократных равнорассеянных результатов измерений, определения проверки соответствия распределения результатов измерений и случайных погрешностей нормальному закону, определения границ доверительного интервала случайной погрешности результатов измерений, а также приобрести практические навыки по оценке суммарной, случайной и систематической погрешностей результатов измерений.

© Московский государственный технический университет «МАМИ»

© Грибанов Дмитрий Дмитриевич

1 Цель работы

Целью лабораторно-практической работы является обучение студентов методам обработки результатов прямых многократных равнорассеянных измерений физических величин (ФВ), включающих грубые, случайные и систематические погрешности результатов измерений.

2 Задачи работы

В процессе выполнения работы студенты должны:

1. Освоить методику определения наличия грубых погрешностей прямых многократных равнорассеянных результатов измерений.

2. Освоить методику определения наличия и исключения систематической погрешности результатов измерений.

3. Освоить методику определения проверки соответствия распределения результатов измерений и случайных погрешностей нормальному закону.

4. Освоить методику определения границ доверительного интервала случайной погрешности результатов измерений.

5. Приобрести практические навыки по оценке суммарной, случайной и систематической погрешности результатов измерений.

3 Основы теории измерений. Многократные измерения и обработка их результатов

Работа является продолжением лабораторной работы № М “Однократные измерения”, поэтому основные положения теории измерений, характеристик методов и средств измерений физических величин, как разделов метрологии, представлены в [6].

В тоже время случайную и систематическую составляющие погрешности результатов измерений, а также грубую погрешность можно оценить лишь выполнив многократные измерения одной и той же детерминированной (неизменной) физической величины.

Как известно, результаты измерений называются равнорассеянными (равноточными), если они являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами.

Обработка результатов прямых равноточных наблюдений производится в соответствии с ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями».

Проверка гипотезы о равноточности (равнорассеянности) результатов многократных измерений может проводиться с помощью различных критериев, например, Фишера, Романовского и др.

С помощью критерия Фишера проверяется гипотеза о том, что два ряда, состоящие из n₁ и n ₂ результатов измерений, являются равноточными.

Сущность проверки заключается в том, что определяются эмпирические дисперсии s₁ s₂ для каждого ряда по следующим формулам:

и (3.1).

Затем определяется дисперсионное отношение F_эксп=S₁/S₂, где S₁ должно быть большим S₂, т.е. S₁> S_2.

Измерения принимаются равноточными, если значения F_эксп не попадает в критическую область, т.е. F_эксп<F_q.

Значения F_q для различных уровней значимости q и степеней свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1 берутся из таблицы критерия Фишера или вычисляются по аппроксимирующим уравнениям.

Уровень значимости определяется как разница между 1 и принятой доверительной вероятностью: q=1-p.

Конечной задачей обработки результатов любых измерений является получение оценки истинного значения измеряемой физической величины Q и погрешности измерения при известной доверительной вероятности.

Причем оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной. Как уже было сказано выше, оценка является состоятельной если при n, стремящимся к бесконечности, оценка стремится к истинному значению ФВ, несмещенной - математическое ожидание равно оцениваемому параметру, эффективной - ее дисперсия меньше любой, получаемой другим способом.

Результаты измерения в общем случае могут содержать систематическую , случайную и грубую погрешность. Результаты измерений, содержащие систематическую погрешность, в литературе обычно обозначаются знаком «´». Учитывая это обозначение, можно представить результат измерения следующим образом:

= (3.2).

На первом этапе обработки результатов измерений оценивают наличие промахов (или грубых погрешностей). Промах - случайная погрешность результата отдельного наблюдения, которая для данных условий резко отличается от отдельных результатов этого же ряда.

Оценка наличия грубых погрешностей решается методами математической статистики – статистической проверкой гипотез. Суть методов заключается в том, что выдвигается нулевая гипотеза относительно результата измерения, который вызывает сомнение в его правильности и может рассматриваться как промах в связи с большим отклонением от других результатов измерения. Нулевая гипотеза заключается в утверждении, что «подозрительный» результат в действительности принадлежит к совокупности полученных в данных условиях результатов измерений, и получение такого результата вполне вероятно. Используя определенные статистические критерии, пытаются доказать ее практическую невероятность, т.е. опровергнуть нулевую гипотезу. Если это удается, сомнительный результат исключается из дальнейшего рассмотрения. На практике часто руководствуются рекомендацией: первый и последний результаты измерений исключают из ряда полученных.

Для исключения грубых погрешностей используются критерии Греббса (Смирнова), Шарлье, Шовенэ и др.

В определенных случаях погрешность может считаться промахом, если она превышает 3.

Затем проводится анализ наличия систематических погрешностей в ряде измерений , их обнаружение и исключение из результатов наблюдений. Получается исправленный ряд результатов наблюдений: .

Постоянные систематические погрешности не влияют на значение случайных отклонений результатов наблюдений от средних значений. Поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не позволяет их обнаружить. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях.

Прогрессирующие систематически погрешности могут быть обнаружены при помощи построения графика последовательности неисправленных результатов наблюдений или их отклонений от среднего значения.

Систематические погрешности, изменяющиеся в процессе измерения, могут быть обнаружены аналитическими методами. Суть этих методов заключается в проверке статистической подконтрольности принятой гипотезы. Для этого могут быть использованы критерии Аббе или Бартлетта.

Рассмотрим сущность критерия Аббе.

После исключения грубых погрешностей определяется значение параметра q_эксп.

; (3.3).

Следующим шагом проверятся условие q_эксп.< q_табл. Если это условие выполняется, то систематическая погрешность присутствует. Значения параметра q_табл представлены в таблице 3.1.

Проверка наличия систематической погрешности в ряде измерений может быть осуществлена с помощью регрессионного анализа для выяснения характера зависимости группового среднего от некоторого неслучайного аргумента (например, времени, контролируемой температуры, давления и др.), а также корреляционного анализа для обнаружения связи между результатами наблюдений и значениями измеряемой ФВ.

Таблица 3.1 - Значения параметра q_табл. при количестве измерений n

n	qтабл	n	qтабл
4	0.3902	13	0.5778
5	0.4102	14	0.5908
6	0.4451	15	0.6027
7	0.4680	16	0.6137
8	0.4912	17	0.6237
9	0.5121	18	0.6330
10	0.5311	19	0.6417
11	0.5482	20	0.6498
12	0.5636	25	0.6836

Изучение методов регрессионного и корреляционного анализа, которые достаточно сложны, в данных методических указаниях не рассматриваются.

Естественно, что лучше сразу получать результаты измерений без систематической погрешности или с небольшой погрешностью. Полностью исключить систематическую погрешность в процессе измерений, как правило, не удается. Однако существуют специальные приемы, обеспечивающие исключение части систематической составляющей погрешности измерений. Рассмотрим основные из этих приемов.

Если систематические погрешности считаются постоянными по характеру проявления, то применяют один из следующих методов:

1) Исключение самого источника систематической составляющей погрешности измерений. Например, путем предварительной установки измерительного прибора по уровню исключают погрешность от его неуравновешенной подвижной части.

2) Компенсация погрешности по знаку. Например, погрешность за счет вариаций показаний прибора исключают, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы слева и справа, а затем вычисляют среднее значение.

3) Проводят симметричные измерения. Например, для исключения погрешностей от гистерезиса, проходят по шкале вверх и вниз, так называемый «прямой» и «обратный» ход, а затем результаты усредняются.

Систематическая погрешность, изменяющаяся в процессе измерения и обнаруженная статистическими методами, может быть в значительной степени скомпенсирована только в случае знания закона ее изменения. Например, зависимость от температуры. Для выяснения характера зависимости группового среднего систематической погрешности используется регрессивный анализ, а для обнаружения связи между систематической погрешностью и измеряемой физической величиной используют корреляционный анализ. Изучение методов корреляционного анализа выходит за рамки рассматриваемых вопросов т.к. они достаточно сложны и для изучения требуют большего количества времени.

Учет неисключенных систематических погрешностей.

На практике систематическая погрешность очень часто включает несколько составляющих, исключить (учесть) которые полностью не всегда удается. Очень часто остаются так называемые неисключенные остатки систематической погрешности или просто неисключенные систематические погрешности (НСП), т.е. погрешности оставшиеся после введения поправок.

К числу не исключенных систематических погрешностей относятся следующие:

- погрешности, связанные с точностью определения поправок,

- погрешности, зависящие от точности измерения влияющей величины, входящей в формулу определения поправок,

- погрешности, связанные с колебанием влияющих величин при невозможности их контроля и учета поправок,

- методические или теоретические погрешности,

- погрешности, связанные с округлением при снятии показаний СИ,

- погрешности поверки и калибровки средств измерений и др.

Для каждого данного измерения не исключенные остатки систематической погрешности имеют вполне определенные значения, но эти значения нам неизвестны. Известно лишь, что в массе однократных измерений эти остатки лежат в определенных границах или имеют определенное среднее квадратическое отклонение, не превышающие , где к - номер не исключенной составляющей систематической погрешности. Если закон распределения не исключенной систематической погрешности неизвестен, то для самих систематических погрешностей _к принимают равномерный закон распределения, а для - нормальный. Дисперсия суммы не исключенных остатков систематической погрешности определяется как сумма дисперсий не исключенных остатков:

(3.4),

где m₁ - число систематических погрешностей, заданных границами _kmax,

m₂ - число систематических погрешностей, заданных СКО .

Не все составляющие НСП играют одинаковую роль или вносят одинаковый вклад в суммарную НСП. Отдельные составляющие вносят пренебрежительно малый вклад в суммарную погрешность, и ими можно пренебречь. Пользуясь правилами округления и, учитывая, что погрешность выражается не более чем двумя значащими цифрами, можно ввести такое условие, при котором можно пренебречь к-ой составляющей НСП:

(3.5),

где - суммарная погрешность результата измерения.

Если обнаружена систематическая погрешность и определен закон ее распределения, для ее исключения вводятся поправки с обратным знаком в полученный ряд результатов измерений.

Введя поправку ν_i= - в каждый результат измерения, получим так называемый исправленный ряд результатов измерений X₁,X₂, … X_i,, где X_i= , поскольку предполагается, что грубые погрешности уже исключены.

Затем вычисляется среднее арифметическое значение результатов измерений:

(3.6).

После этого вычисляется оценка среднего квадратического отклонения результата измерений по следующей формуле:

σ= (3.7).

Затем вычисляется оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения σ_х:

σ_х= (3.8).

В случае, если число измерений n≤15, принимается нормальный закон распределения результатов измерений и СКО. При n > 50 осуществляют проверку принадлежности этих параметров к нормальному закону с помощью критерия ω² или χ².

Если 15 < n ≤ 50, то обычно используют составной критерий (ГОСТ 8.207).

Сущность составного критерия состоит в том, что в первой его части на основании экспериментальных данных определяется значение параметра d= , которое затем сравнивается с теоретическими значениями параметров и , которые берутся из таблицы указанного выше ГОСТ, или рассчитываются по формулам [ ].

Гипотеза о нормальности по первой части составного критерия (d) принимается, если выполняется условие:

≤ d ≤ .

В противном случае гипотеза о нормальном законе распределения результатов измерения отвергается.

Вторая часть составного критерия введена для проверки так называемых «концов распределения». Предполагается, что распределение результатов наблюдения соответствует нормальному закону, если не более m разностей |x_i- | превзойдет значение t_p·S_x, где t_p – квантиль распределения нормированной функции Лапласа (коэффициент Стьюдента).

В том же диапазоне чисел измерений (15<n<50) для оценки соответствия распределения результатов измерений нормальному закону может быть использована статистическая функция. Для ее построения результаты измерений выстраивают в вариационный ряд в порядке возрастания и вычисляют F(x_i) следующим образом:

F(x_i) = (3.9).

График этой функции представляет собой ступенчатую линию, каждая ступенька которой равна 1/(n+1) и соответствует переходу к следующему члену вариационного ряда. Если для некоторых значений x_i = x_i+1 =…=x_i+k, то в точке x_i = x_i+1 F(x_i) возрастает на , где k - число равных между собой членов ряда.

Для проверки нормальности распределения результатов наблюдений вычисляют значения t_i, соответствующие значениям F(x_i) = F(t_i) .

Зависимости, определяемые выражениями 2.29 и 2.30, выбраны таким образом, что колоколообразная кривая (гауссиана) в таких координатах преобразуется в прямую линию.

Если экспериментальная зависимость существенно отклоняется от прямой линии, гипотеза о нормальном законе распределения результатов наблюдений отвергается.

Таким образом, оценка истинного значения измеряемой физической величины сводится к определению этого значения Х как функции результата измерения и полученной суммарной погрешности: Х=f(x_i+Δ_i). Другими словами, необходимо получить оценку истинного значения измеряемой физической величины и границы доверительного интервала, внутри которого она находится с принятой доверительной вероятностью.

Алгоритм обработки результатов прямых результатов измерений с мнокократными наблюдениями следующий:

1) Если отсутствует надежная предварительная информация о том, что результаты мнокократных измерений являются равнорассеянными, проводится проверка этой гипотезы (о равнорассеянности результатов измерений) любым способом. Например, с помощью критериев Фишера или Романовского.

Если полученный ряд результатов многократных наблюдений можно считать равнорассяным, дальнейшую обработку этих результатов проводят по следующему алгоритму:

1.1) Если есть подозрения на наличие в исправленном ряде результатов наблюдений грубых погрешностей, он проверяется на их наличие любыми известными способами, например, с помощью критериев Смирнова, Шовенье и др. Обнаруженные грубые погрешности исключаются из дальнейшего рассмотрения.

1.2) Ряд равнорассеянных результатов многократных наблюдений проверяется на наличие систематических погрешностей любым методом. Например, с помощью критериев Аббе, Бартлета и др.

1.3) Обнаруженные систематические погрешности исключаются из результатов наблюдений путем введения соответствующих поправок.

1.4) Полученный ряд результатов наблюдений выстраивается в вариационный ряд и проводится проверка гипотезы о том, что этот ряд соответствует закону нормального распределения.

1.5) В случае нормального закона распределения результатов наблюдений вычисляется среднее арифметическое значение этих наблюдений, поскольку в этом случае оно является наиболее оптимальной истинного значения измеряемой физической величины.

1.6) Вычисляется среднее квадратическое отклонение результата измерений σ.

1.7) Рассчитывается оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения σ_х :

1.7.1) Если среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения известна заранее, то верхняя и нижняя границы доверительного интервала ±Δ среднего арифметического значения результатов измерений |x_i- |определяется следующим образом:

|x_i - | ≤ Δ = t_p· σ (3.10).

1.7.2) Если среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения заранее неизвестна, то верхняя и нижняя границы доверительного интервала ±Δ среднего арифметического значения результатов измерений |x_i - |определяется следующим образом:

|x_i - | ≤ Δ = (t_p· σ_х)/ (3.11),

где t_p – коэффициент Стьюдента.

1.8) Определяются границы неисключенной систематической погрешности Θ:

1.8.1) Если отношение Θ/ σ_х < 0,8, то систематической погрешностью Θ пренебрегают и суммарная погрешность Δ_∑ определяется случайной погрешностью(t_p· σ_х)/ , т.е. Δ_∑ = (t_p· σ_х)/ .

1.8.2) Если отношение Θ/ σ_х >8, пренебрегают случайной погрешностью и суммарная погрешность определяется неисключенными систематическим погрешностями Δ_∑ = Θ_нсп.

1.8.3) Если выполняется условие 0,8 < Θ/σ_х < 8, то суммарная погрешность должна учитывать случайную и неисключенную систематическую погрешность:

Δ_∑ = (3.12).

1.9) Результаты представляются в следующем виде:

± Δ, Р=…..

Часто измерения проводятся в несколько этапов, разными наблюдателями, в различное время, в разных условиях с применением различных СИ. Каждому этапу соответствует своя группа измерений со своими средними арифметическими значениями в каждой группе :

№ измерения в группе от i=1 до i=n	№ № групп от j=1 до j=m
(Xi)j	(X1)1	(X1)2	….	(X1)m
	(X2)1	(X2)2	…	(X2)m
	. . .	. . .	. . .	. . .
	(Xn)1	(Xn)2	…	(Xn)j
Средние арифметические значения в группах	( )1	( )2	…	( )j

При этом необходимо найти наиболее достоверное значение ФВ и оценить его отклонение от истинного значения.

Как уже было указано ранее, группы результатов наблюдений называют неравноточными (неравно рассеянными), если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические значения групп являются оценкой одного и того же значения измеряемой ФВ.