Тема 6: линейные электрические цепи

НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Знание элементов теории несинусоидальных периодических токов необхо- димо для понимания принципов действия устройств автоматики, электрон- ных приборов и самой различной аппаратуры новой техники.

Периодическая несинусоидальная функция удовлетворяет условию

f (t) =f ( t + k T ), где Т - период функции, т. е. промежуток времени по истечении которого весь процесс повторяется сначала; k - целое число. Такая периодическая функция, как известно из курса математики, мо- жет быть представлена в виде гармонического ряда (ряда Фурье), в общем случае неограниченного, но при расчетах электрических цепей часто с ко- нечным числом п гармонических (синусоидальных) составляющих или, короче, гармоник. Например, несинусоидальный периодический ток

или (6.1)

В этом выражении I₀ - постоянная составляющая (постоянный ток);

I1m sin(t +i1) - первая (основная) гармоника, частота которой равна частоте несинусоидальной периодической функции тока; все остальные слагаемые называют высшими гармониками; ik - начальная фаза k-й гармонической составляющей, зависящая от начала отсчета времени (t=0).

Таким образом, периодический несинусоидальный ток можно представить в виде суммы постоянного тока и синусоидальных токов различных час- тот, кратных частоте первой гармоники, с различными начальными фазами. Такое представление часто применяется при расчетах цепей периодических несинусоидальных токов. На рис. 6.1 приведен график периодического несинусоидального тока I, который содержит только первую i1 и вторую i₂ гармоники. Аналогично записываются разложения в гармонический ряд периодических несинусоидальных напряжений и других величин на любом участке цепи.

Рис. 6.1

Для расчета режима линейной цепи периодического не синусоидального тока (цепи, у которой параметры элементов r, L, C не зависят от тока и напряжения) применим метод наложения: каждую из гармонических состав- ляющих и постоянную составляющую (если она есть) определим отдельно (независимо).

В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи с последовательным соединением r и С при заданном напряжении источника периодической несинусоидальной ЭДС:

Рис. 6.2.

Ток в такой цепи

где по закону Ома для первой гармоники

_{для пятой гармоники}

При определении каждой из гармонических составляющих можно применять любые методы расчета цепей синусоидального тока, в том числе и комплексный.

ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЕЛИЧИН НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Практически весьма важно вычислить и действующие значения токов (напря- жений, ЭДС), измеряемых амперметрами (вольтметрами). Приведенное в теме 4 определение действующего значения [см. (4.4)] справедливо для любого периодического тока. Поэтому действующее значение периодического не синусоидального тока определим выражением

Учитывая (6.2)

так как этот интеграл по определению равен квадрату действующего

значения Ik гармонической составляющей тока К-го порядка;

так как интеграл от синусоидальной величины за целое число периодов равен

нулю

г де k и l - номера гармоник, причем k = 0; интеграл равен нулю, так как произведение синусоидальных функций можно заменить разностью косину- соидальных:

т. е. подынтегральное выражение интеграла 4-го типа является разностью косинусондальных функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидаль- ного тока

или (6.3)

т.е. действующее значение периодического несинусоидального тока рав-

но корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей

и квадратов действующих значений всех гармонических составляющих,

и аналогично для любой другой периодической несинусоидальной величины.

МОЩНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Выражение мгновенной мощности

p = i u (6.4)

справедливо для токов и напряжений с любой формой кривой.

Активная мощность любого периодического тока по определению равна среднему за период значению мгновенной мощности:

После подстановки в (6.4) напряжения и и тока i в виде рядов активная мощность будет представлена суммой интегралов таких же четырех типов, которые были рассмотрены при определении действующего значения периоди- ческого несинусоидального тока:

где

Таким образом, активная мощность

( 6.5)

т. е. активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме

активных мощностей всех гармонических составляющих и мощности посто-

янных составляющих напряжения и тока (мощности постоянного тока).

Реактивной мощностью периодических несинусоидальных токов можно условно считать величину

(6.6)

Полная мощность периодических несинусоидальных токов определяется

также условно

(6.7)

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ

В цепи периодического несинусоидального тока для различных гармонических составляющих этого тока индуктивные сопротивления катушек и емкостные сопротивления конденсаторов зависят от номера k гармонической составляющей

На зависимости индуктивных и емкостных сопротивлений от частоты основан принцип работы электрических фильтров - устройств, при помощи которых гармонические составляющие токов и напряжений определенной частоты или в пределах определенной полосы частот значительно уменьшаются.

Сглаживающие фильтры. Сглаживающие фильтры служат для уменьше-

ния процентного содержания на сопротивлении нагрузки гармонических сос-

тавляющих выпрямленного напряжения или снижения процентного содержания высших гармоник в кривой переменного напряжения.

Рассмотрим работу простейшего сглаживающего фильтра (рис. 6.3), предс- тавляющего собой пассивный линейный четырехполюсник, к выходным выводам которого подключен приемник с сопротивлением нагрузки г_2д.

Коэффициент передачи напряжения фильтра, цепь которого вместе с приемником представляет собой цепь со смешанным соединением ветвей,

равен:

(6.8)

Соответствующая амплитудно-частотная характеристика фильтра при-

ведена на рис. 6.4. Чем выше частота гармоники напряжения на входе

фильтра, тем меньше ее процентное содержание в напряжении на его выходе (рис. 6.5). Аналогичными свойствами обладает сглаживающий фильтр по схеме на рис. 6.6.

Рис. 6.3. Рис. 6.4.

Рис. 6.5. Рис. 6.6.

Резонансные фильтры. В резонансных фильтрах используется явление резонанса токов и напряжений для выделения или исключения в кривой напря-

Жжения на приемнике определенной полосы частот. Соответствующие фильтры называются полосовыми или заградительными.

На рис. 6.7, а приведена схема простейшего полосового фильтра на основе явления резонанса напряжений, а на рис. 6.7, б - его амплитудно-частотная характеристика.

Рис.6.7

(6.9)

В заградительном фильтре по схеме на рис. 6.8, а используется явление резонанса токов. Его амплитудно-частотная характеристика приведена на рис. 6.8.б.

Рис.6.8

(6.10)

Избирательные гС - фильтры. Фильтры, содержащие только резисторы и конденсаторы, называются гС - фильтрами. Отсутствие в них индуктивных элементов делает их привлекательными для реализации их виде интеграль- ных микросхем. Пример полосового гС-фильтра и его амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики представлены на рис. 6.9, где:

Ku = Z 2 / (Z1 + Z 2) (6.11)

Рис. 6.9.

Лекция 9