9.9. Волновой пакет. Групповая скорость волн

Все волновые процессы, с которыми приходится иметь дело на практике, никогда не бывают строго гармоническими плоскими волнами. Однако любую реальную волну можно представить как суперпозицию плоских монохроматических волн, частоты и волновые числа которых заполняют интервал шириной ∆ω и ∆k соответственно. Эти интервалы могут быть и бесконечными. Если частоты (и волновые числа) компонент мало отличаются друг от друга и сгруппированы вблизи некоторой центральной частоты ω₀ (и волнового числа k₀, ∆ω << ω₀, ∆k << k₀), то такую суперпозицию называют группой волн, или волновым пакетом. Волновой пакет – это волна, которая отлична от нуля лишь в некотором интервале а во всех других точках пространства равна нулю.

При распространении группы волн результирующее колебание в какой-либо точке x в момент времени t зависит от соотношения их фаз φ = kx – ωt, поэтому в одних точках волны вследствие интерференции будут усиливать друг друга, а в других ослаблять. В одних точках это усиление или ослабление будет меньше, в других больше. Если эти фазы будут взаимно почти противоположны, результирующее колебание будет мало. Но если в какой-либо точке x₀ в момент времени t фазы отдельных составляющих почти совпадут, то в результате интерференции в этой точке колебания сложатся и дадут результирующее колебание с максимальной амплитудой. Точку x₀, в которой амплитуда группы волн имеет максимальное значение, называется центром группы или центром волнового пакета.

Из того, что в центре группы фазы колебаний, вызываемых волнами различных, но близких часто и волновых чисел, совпадают следует, что в центре группы фаза колебаний не зависит от частоты и волнового числа, т.е. от того, какой из волн группы приписывается эта фаза. Математически это можно выразить в утверждении, что в центре группы производная фазы по волновому числу (или частоте) как производная постоянной равна нулю:

(7.16)

откуда

(7.17)

Мы видим, что положение центра группы, определяемой координатой x₀, изменяется во времени, т.е. центр группы перемещается в пространстве равномерно со скоростью

(7.18)

где индекс «₀», указывающий на то, что производная берется в центре группы, отброшен за ненадобностью.

Скорость, определяемая равенством (7.18), называется групповой скоростью, в отличие от введенной выше фазовой скорости являющейся скоростью переноса в пространстве любого значения фазы волны. Понятие фазовой скорости относится к плоской гармонической волне. Но реальные волны не являются плоскими гармоническими. Поэтому на практике обычно имеют дело с волновыми пакетами, а значит, и с групповой скоростью.

Наибольшее абсолютное значение результирующей амплитуды, как было установлено выше, получается в том случае, когда фаза φ остается почти постоянной в интервале волновых чисел от до Изменение фазы считается малым, пока оно не достигнет значения порядка π. Отсюда имеем условие того, чтобы амплитуда в указанном интервале имела большую абсолютную величину: Пусть изменение фазы на π достигается в точке x₁, тогда с учетом соотношений (7.16) и (7.17) получим

а значит, можно записать: Принимая величину за ширину волнового пакета, получим

(6.19)

Это соотношение показывает, что волна, волновые числа составляющих гармоник которой занимают спектральный интервал конечной ширины, оказывается практически локализованным в области шириной (отсюда и название – волновой пакет). Эта область будет тем уже, чем шире интервал волновых чисел волн, образующих волновой пакет. С другой стороны, при стремлении к нулю (что имеет место в случае гармонической волны) ширина пакета стремится к бесконечности – волна занимает все бесконечное пространство и описывается гармонической функцией косинуса или синуса.

Соотношение (6.19) называют соотношением неопределенностей для волн (неопределенностями называют величины и ). Другим соотношением неопределенностей для волн является соотношение

(7.20)

Это соотношение можно получить путем следующих рассуждений. Пакет шириной перемещается вдоль оси X со скоростью u, однако момент прохождения им заданной точки на оси X не может быть указан точно: неопределенность в определении этого момента оказывается порядка Волновой пакет характеризуется размытостью по волновым числам и частотам причем

Из этих двух приближенных равенств находим, что Тогда, используя соотношение (7.19), приходим к соотношению (7.20).