Методические указания к выполнению задач 15–20

Фирма, занятая сбытом продукции, имеет сеть магазинов, включающую центральный магазин и ряд торговых точек, расположенных в радиусе 1 км вокруг этого центрального магазина.

Центральный магазин реализует 90 единиц товара в месяц. В торговых точках фирма реализует 100 единиц товара. Единица товара продается по цене 10 у.д.е. При этом известно, что объем реализуемых товаров пропорционален площади территории распространения товара, а затраты на перевозку единицы товара пропорциональны расстоянию, причем коэффициент пропорциональности составляет 3 у.д.е./км  ед.

Определить радиус распространения товара, при котором прибыль от продаж будет максимальной.

Алгоритм решения задачи:

1. Определим количество продаваемых товаров как функцию от радиуса R их распространения:

P = a + b · S,

где Р – количество продаваемых товаров;

S – площадь распространения товаров;

a, b – коэффициенты.

Коэффициент a зависит от работы центрального магазина.

При R = 0 и S = 0, величина P = A, где A – количество товара, продаваемого в центральном магазине. Поэтому a = A.

Коэффициент b зависит от работы остальных торговых точек. Т. к. в радиусе одного километра от центрального магазина в торговых точках продается B единиц товара, значение b можно определить по формуле

B = A + b · π или b = (B – A) / π ,

тогда количество продаваемых товаров

P = A + (B – A) · R² , т. к. S = π R² .

Для нашей задачи Р = 90 + (100 – 90) · R² = 90 + 10 · R².

2. Определим прибыль от продажи товаров без учета расходов на транспортировку L :

L = C · P = C · [A + (B – A) · R²],

где C – цена единицы товара.

Для нашей задачи L = 10 · [90 + (100 – 90) · R²] = 900 + 100 · R².

3. Определим расходы на перевозку товаров.

Для этого определим прирост товарооборота dM при предельно малом приращении радиуса – d (рис . 4) : dM = P · dr.

Рис. 4. Прирост товарооборота при увеличении радиуса

Тогда dM = [A + (B – A) · r²]dr .

Интегрируя данное выражение по r в пределах от r = 0 до r = R, получим

M = A · R +1/3 · (B – A) · R³,

где М – товарооборот фирмы.

Для нашей задачи M = 90 · R + 1/3 · (100 – 90) · R³ = 90 · R + 10/3 · R³.

Тогда расходы на транспортировку (Т) вычислим по формуле

T = (A · R + 1/3 · (B – A) · R³) · D ,

где D – затраты на перевозку (коэффициент пропорциональности).

Для нашей задачи Т = (90 · R + 10/3 · R³) · 3 = 270 · R + 10 · R³.

4. Определим прибыль с учетом расходов на транспортировку – П _т:

П _т = C · [A + (B – A) · R²] – D · [A · R + 1/3 · (B – A) · R³].

Для нашей задачи

П _т = 900 + 100 · R² – 270 · R – 10 · R³ = 900 – 270 · R + 100 · R² – 10 · R³.

5. Найдем точки экстремума функции прибыли. Для этого продифференцируем функцию прибыли и приравняем ее к нулю:

,

отсюда

Найдем корни уравнения

Для нашей задачи

Подставим значения R ₁ и R ₂ в формулу определения прибыли:

П _т (R₁) = 900 – 270 · 1,88 + 100 · (1,88)² – 10 · (1,88)³ = 679,4.

П _т (R₂) = 900 – 270 · 4,79 + 100 · (4,79)² – 10 · (4,79)³ = 802,1.

Сравнивая значения П_т, получим, что прибыль фирмы от продаж будет максимальной при радиусе распространения товара R = 4,79 км.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 15. Фирма, занятая сбытом продукции, имеет сеть магазинов, включающую центральный магазин (главный офис) и ряд торговых точек, расположенных в радиусе 1 км вокруг этого центрального магазина.

Центральный магазин реализует 98 единиц товара в месяц. В торговых точках фирма реализует 100 единиц товара. Единица товара продается по цене 50 у.д.е. При этом известно, что объем реализуемых товаров пропорционален площади территории распространения товара, а затраты на перевозку единицы товара пропорциональны расстоянию, причем коэффициент пропорциональности составляет 1 у.д.е./км  ед.

Определить радиус распространения товара, при котором прибыль от продаж будет максимальной.

Задача 16. Фирма, занятая сбытом продукции, имеет сеть магазинов, включающую центральный магазин и ряд торговых точек, расположенных в радиусе 1 км вокруг этого центрального магазина.

Центральный магазин реализует 102 единиц товара в месяц. В торговых точках фирма реализует 115 единиц товара. Единица товара продается по цене 21 у.д.е. При этом известно, что объем реализуемых товаров пропорционален площади территории распространения товара, а затраты на перевозку единицы товара пропорциональны расстоянию, причем коэффициент пропорциональности составляет 4 у.д.е./км  ед.

Определить радиус распространения товара, при котором прибыль от продаж будет максимальной.

Задача 17. Фирма, занятая сбытом продукции, имеет сеть магазинов, включающую центральный магазин и ряд торговых точек, расположенных в радиусе 1 км вокруг этого центрального магазина.

Центральный магазин реализует 108 единиц товара в месяц. В торговых точках фирма реализует 115 единиц товара. Единица товара продается по цене 53 у.д.е. При этом известно, что объем реализуемых товаров пропорционален площади территории распространения товара, а затраты на перевозку единицы товара пропорциональны расстоянию, причем коэффициент пропорциональности составляет 6 у.д.е./км · ед.

Определить радиус распространения товара, при котором прибыль от продаж будет максимальной.

Задача 18. Фирма, занятая сбытом продукции, имеет сеть магазинов, включающую центральный магазин и ряд торговых точек, расположенных в радиусе 1 км вокруг этого центрального магазина.

Центральный магазин реализует 124 единиц товара в месяц. В торговых точках фирма реализует 135 единиц товара. Единица товара продается по цене 33 у.д.е. При этом известно, что объем реализуемых товаров пропорционален площади территории распространения товара, а затраты на перевозку единицы товара пропорциональны расстоянию, причем коэффициент пропорциональности составляет 8 у.д.е./км · ед.

Определить радиус распространения товара, при котором прибыль от продаж будет максимальной.

Задача 19. Фирма, занятая сбытом продукции, имеет сеть магазинов, включающую центральный магазин и ряд торговых точек, расположенных в радиусе 1 км вокруг этого центрального магазина.

Центральный магазин реализует 128 единиц товара в месяц. В торговых точках фирма реализует 135 единиц товара. Единица товара продается по цене 52 у.д.е. При этом известно, что объем реализуемых товаров пропорционален площади территории распространения товара, а затраты на перевозку единицы товара пропорциональны расстоянию, причем коэффициент пропорциональности составляет 3 у.д.е./км · ед.

Определить радиус распространения товара, при котором прибыль от продаж будет максимальной.

Задача 20. Фирма, занятая сбытом продукции, имеет сеть магазинов, включающую центральный магазин и ряд торговых точек, расположенных в радиусе 1 км вокруг этого центрального магазина.

Центральный магазин реализует 96 единиц товара в месяц. В торговых точках фирма реализует 100 единиц товара. Единица товара продается по цене 40 у.д.е. При этом известно, что объем реализуемых товаров пропорционален площади территории распространения товара, а затраты на перевозку единицы товара пропорциональны расстоянию, причем коэффициент пропорциональности составляет 5 у.д.е./км · ед.

Определить радиус распространения товара, при котором прибыль от продаж будет максимальной.