3.9 Устойчивость оболочек
Потеря устойчивости оболочек имеет характерные особенности. В расчетах стержней и стержневых систем на устойчивость можно ограничиться определением изогнутых равновесных форм, лежащих в окрестностях основного состояния (это так называемая устойчивость системы «в малом»). При определении критических нагрузок, действующих на оболочку, такой подход приводит к выявлению верхней критической нагрузки. Основное состояние оболочки обычно соответствует ее безмоментному напряженному состоянию.
Но опыт показывает, что при потере устойчивости оболочки ее новая равновесная форма существенно отличается от исходной; поверхность резко искажается, и оболочка получает большие прогибы. На практике процесс перехода к новой равновесной форме сопровождается хлопком. В этом случае исследование устойчивости возможно только на основе нелинейной теории, учитывающей упругие перемещения, соизмеримые с толщиной оболочки. Этот подход называется исследованием устойчивости «в большом» и позволяет определить нижнюю критическую нагрузку. При нагрузках, меньших нижней критической, оболочка будет устойчивой не только «в малом», но и «в большом».
Перескок к новым формам равновесия может произойти задолго до того, как нагрузка достигнет своего верхнего критического значения. Для этого необходимо только придать оболочке некоторое деформационное возмущение, например, дополнительный прогиб. Чем сильнее будут эти возмущения, тем при меньшей нагрузке может произойти потеря устойчивости.
Практически любая реальная конструкция имеет вмятины и другие начальные дефекты поверхности, что эквивалентно деформационным возмущениям.
Определенная экспериментально критическая нагрузка обычно лежит в интервале, границами которого являются нижняя и верхняя критические нагрузки.
При статическом анализе потери устойчивости оболочки необходимо записать уравнения равновесия элемента оболочки в момент потери устойчивости, т.е. при переходе из основного безмоментного состояния в моментное (изгибное). Если при потере устойчивости на поверхности оболочки появляются сравнительно пологие волны, то можно использовать теорию пологих оболочек. Для малых прогибов эти уравнения имеют вид
|
(3.50) |
где
—
функция
напряжений (функция Эри); 
и 
—
кривизны поверхности оболочки в
направлениях координатных
линий 
и
соответственно; W—
прогиб оболочки; h —
толщина.
Нагрузка q в
задачах устойчивости — это некоторая
фиктивная поперечная нагрузка, равная
сумме проекций безмоментных усилий 
на
направление нормали к изогнутой
поверхности оболочки (рис.3.38):
где 
—
изменения кривизны вдоль 
соответственно; 
—
изменение кривизны кручения.
Составляющие напряженно-деформированного состояния оболочки выражаются через прогиб и функцию напряжений:
Рис.3.38
Предполагая оболочку пологой хотя бы в пределах одной вмятины, можно записать уравнения устойчивости при больших прогибах:
|
(3.51) |
где
Нелинейные члены появляются и в выражениях для деформаций в срединной поверхности оболочки:
При исследовании потери устойчивости оболочки энергетическим методом используется выражение потенциальной энергии деформации
где 
—
энергия деформации срединной
поверхности; 
—
энергия изгиба:
Интегрирование распространяется на всю поверхность оболочки. Выражение работы внешних сил на перемещениях в момент потери устойчивости записывается для каждого конкретного случая. Критические усилия определяются из условия равенства энергии деформации и работы внешних сил, действующих на оболочку.
Рассмотрим расчет на устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки (рис.3.39).
Рис.3.39
В теоретическом плане здесь обычно рассматриваются три варианта:
1. Предположим, что форма оболочки после потери устойчивости остается осесимметричной, тогда и не зависят от и систему (3.50) можно переписать в виде
|
(3.52) |
где 
—
критическое напряжение в момент потери
устойчивости. Пусть
|
(3.53) |
Подставляя
(3.53) в (3.52), получим систему алгебраических
уравнений относительно 
и 
:
|
(3.54) |
Однородная система уравнений (3.54) имеет ненулевое решение только при условии равенства нулю ее определителя, после раскрытия которого, получим
где 
2. Предположим, что оболочка при потере устойчивости не сохраняет своей осесимметричной формы и получает прогиб
|
(3.55) |
где
—
число полуволн по образующей; 
—
число полных волн вдоль окружности; х —
координата вдоль образующей;
—
угловая координата.
Примем изменяющимся по закону
|
(3.56) |
где 
Подставляя
(3.55) и (3.56) в (3.50) и полагая 
получим
систему однородных алгебраических
уравнений, из условия равенства нулю
определителя которой находим
Верхние критические нагрузки при симметричной и несимметричной формах потери устойчивости совпадают.
3. Предположим, что и определяются в виде
|
(3.57) |
Задавая
в
виде (3.57), фактически полагают, что на
торцах оболочки и на границах каждой
выпучины (при 
)
отсутствуют касательные напряжения.
Подставляя (3.57) в (3.50), умножая затем
первое уравнение на
,
а второе — на
и
проделывая необходимые операции по
методу Бубнова-Галеркина, получим, как
и в двух предыдущих вариантах, систему
алгебраических уравнений, из которой
следует
Расчеты показывают, что учет касательных напряжений на торцах оболочки снижает величину почти в три раза.
Рассмотрим последовательность расчета замкнутой цилиндрической оболочки (рис.3.39) на устойчивость в программе ANSYS.
1. Задаем ключевые точки.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create > Keypoints > In Active CS
В строке NPT Keypoint number указываем номер точки, в полях X, Y, Z Location in active CS — ее координаты. После ввода координат каждой точки нажимаем Apply:
точка 1: (0; 0; 0); точка 2: (0; 0; 2); точка 3: (0.3; 0; 0); точка 4: (0.3; 0; 2). ОК.
2. Соединяем точки линией.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines > Straight Line
Выделяем точки 3 и 4. ОК.
3. Строим поверхность.
Создадим цилиндрическую поверхность вращением линии вокруг оси, определяемой точками 1 и 2.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Extrude>Lines>About Axis
Выделяем линию. ОК. Выделяем точки 1 и 2. ОК. В окне Sweep Lines about Axis в поле ARC Arc length in degrees вводим величину угла, на который нужно повернуть образующую — 360, в поле NSEG No, of area segments указываем количество сегментов — 4. ОК.
4. Задаем тип элемента.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete > Add...
В окне Library of Element Type выбираем Shell 4 node 181. ОК. Close.
5. Задаем реальные константы элемента.
Main Menu>Preprocessor>Real Constants>Add/Edit/Delete>Add...>OK
В поле Shell thickness at node I TK(I) вводим толщину пластины — 0.02. OK.
6. Задаем свойства материала.
Main Menu > Preprocessor > Material Props > Material Models
В правом поле открывшегося окна выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic