3.8 Устойчивость прямоугольных пластин
При определенных значениях сжимающих и сдвигающих нагрузок, действующих в плоскости пластины, возможно наступление потери устойчивости с частичным или полным выключением пластины из работы конструкции.
Рассмотрим прямоугольную пластину со свободным опиранием по контуру. Пусть на кромках пластины действуют равномерно распределенные по ним погонные нагрузки (рис.3.34).
Рис.3.34
Если предположить, что нагрузки действуют на кромках одновременно, то уравнение для исследования устойчивости пластины имеет вид
|
(3.34) |
При свободном опирании кромок граничные условия будут такими:
Представим прогиб в форме двойного тригонометрического ряда, каждый член которого удовлетворяет записанным граничным условиям:
|
(3.35) |
.Подставляя (3.35) в (3.34), получим
Справедливость
этого равенства при любых 
возможна
только при выполнении условия
|
(3.36) |
Из
уравнения (3.36) следует, что потеря
устойчивости пластины может происходить
при различных сочетаниях сжимающих
нагрузок
в
зависимости от количества полуволн 
в
направлениях осей
.
Пусть
пластина сжимается только нагрузкой 
,
тогда из (3.36) получим
|
(3.37) |
.
Наименьшему
значению
будет
соответствовать 
|
(3.38) |
.
Исходя
из того, что 
(где h —
толщина пластины), для критического
напряжения получим следующее выражение:
|
(3.39) |
Введем обозначения
,
тогда (3.39) принимает вид
|
(3.40) |
Величина 
представляет
собой критическое напряжение балки-полоски
длиной b со
свободно опертыми краями, а
коэффициент k зависит
от отношения сторон пластины a/b и
количества полуволн, образующихся при
выпучивании в направлении оси х.
Из
графика зависимости коэффициента k от m и
от отношения a/b (рис.3.35)
следует, что 
Рис.3.35
При a/b <
1, m =
1 получим 
>
4. При a/b >
1 пластина при выпучивании разобьется
на квадратные (или близкие к ним) волны,
т.е. полуволны в направлениях осей
будут
одинаковыми.
Таким образом, если пластина сжимается нагрузкой в направлении длинной стороны, можно принимать
|
(3.41) |
Рассмотрим
вариант граничных условий, когда две
стороны пластины 
свободно
оперты, а две другие стороны имеют
произвольные условия опирания.
Пусть в направлении оси х действует
равномерно распределенная сжимающая
нагрузка
(рис.3.36).
Рис.3.36
Уравнение устойчивости для рассматриваемого случая можно записать в виде
|
(3.42) |
Последнее слагаемое в (3.42) взято со знаком «минус», так как приложенная нагрузка является сжимающей.
Представим
прогиб 
выражением
|
(3.43) |
Функция (3.43) удовлетворяет граничным условиям задачи:
при 
Подставляя (3.43) в (3.42), получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка:
|
(3.44) |
Корни соответствующего характеристического уравнения:
.
Решение уравнения (3.44) можно записать так:
|
(3.45) |
Постоянные 
можно
определить из граничных условий на
кромках пластины 
Окончательное выражение для критического напряжения будет вновь иметь вид (3.40), но коэффициент k уже зависит не только от отношения сторон a/b, но и от условий их закрепления.
Для пластинки, свободно опертой по трем сторонам, и свободной четвертой стороне
|
(3.46) |
.
В
[29] приводятся значения коэффициента k для
некоторых вариантов граничных условий.
Так, для случая, когда одна из боковых
кромок защемлена, а другая свободна,
коэффициент k при
изменении a/b от
1,0 до 3,0 изменяется от 1,7 до 1,36. При
дальнейшем увеличении
отношения a/bкоэффициент k асимптотически
приближается к величине 1,33. Для
практических расчетов при 
можно
принимать k =
7,0.
При нагружении пластинок
сдвигающими нагрузками, равномерно
распределенными по кромкам, пластина
теряет устойчивость с образованием
диагональных волн. Критическое напряжение
сдвига 
определяется
по формуле
|
(3.47) |
где 
—
короткая сторона пластины, 
—
толщина.
При свободном опирании всех кромок
|
(3.48) |
при всех защемленных кромках
|
(3.49) |
Рассмотрим
пример.
Пусть прямоугольная пластина (a =
2 м, b =
1 м, h =
0,02 м)
свободно опирается по сторонам 
и 
,
сжимается равномерно распределенной
погонной нагрузкой 
,
приложенной вдоль этих же сторон, и
жестко защемлена по двум другим сторонам.
Если представить прогиб в момент потери устойчивости в виде двойного тригонометрического ряда
то при использовании энергетического метода критическое значение сжимающей нагрузки, соответствующее первой форме потери устойчивости, составит
Последовательность решения этой задачи в ANSYS:
1. Задаем ключевые точки.
Main Menu>Preprocessor > Modeling > Create >Keypoints > In Active CS
В окне Create Keypoints In Active Coordinate System поле NPT Keypoint number вводим номер точки, а ее координаты — в полях X,Y,Z Location in active CS. Ввод каждой точки завершаем нажатием клавиши Apply, после ввода последней точки — OК.
N точки x y z
1 0 0 0
2 2 0 0
3 2 0 1
4 0 0 1
Для
просмотра изометрической проекции в
правой части графического интерфейса
нажимаем кнопку 
.
2. Строим плоскость по вершинам.
Main Menu > Preprocessor > Modeling > Create > Areas > Arbitrary > Through KPs
Последовательно выделяем точки 1, 2, 3 и 4. ОК.
3. Выбираем тип конечного элемента.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete > Add…
В окне Library of Element Types выбираем Shell 4 node 181. OК, Close.
4. Задаем толщину пластины.
Main Menu>Preprocessor>Real Constants>Add/Edit/Delete>Add…> OK
В полях Shell thickness at node I TK(I), at node J TK(J), at node K TK(K), at node L TK(L) вводим толщину пластины — 0.02. OК, Close.
5. Задаем свойства материала.
Main Menu > Preprocessor > Material Props > Material Models
В правом поле открывшегося окна, двойным нажатием левой кнопки мыши выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic
В диалоговом окне задаем
EX -2e11 (модуль упругости);
PRXY – 0.3 (коэффициент Пуассона). OК.
6. Построение конечно-элементной сетки.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В окне Mesh Tool нажимаем кнопку Set рядом с Lines, курсором выделяем короткие линии. ОК. В диалоговом окне Element Sizeson on Picked Linesв поле NDIV No, of element divisions вводим количество разбиений на линии — 10. Apply. Выделяем длинные линии. ОК. Задаем количество разбиений — 20. OК.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В окне Mesh Tool в опциях Shape выбираем Quad и Mapped, нажимаем Mesh, в окне Mesh Areas — Pick All.
7. Задаем условия закрепления.
Main Menu>Solution>Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Lines
Выделяем короткие стороны пластины. ОК. В окне Apply U, ROT on Lines выбираем UY. Apply. Выделяем длинные стороны. ОК. В окне Apply U, ROT on Lines выбираем All DOF. ОК.
8. Прикладываем распределенную нагрузку.
Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines
Выделяем короткие линии. OК. В окне Apply PRES on lines в поле VALUE Load PRES value вводим величину нагрузки — 1. ОК.
Выделяем всю конструкцию:
Utility Menu > Select > Everything
Переходим в командный режим:
FINISH !выход из препроцессора
/SOLU !вход в процессор решения
PSTRES, ON !установить вычисление напряжённого состояния
SOLVE !запуск на решение
FINISH !выход из препроцессора решения
/SOLU !вход в процессор решения
ANTYPE, 1 !анализ на устойчивость в линейной постановке
BUCOPT, SUBSP,4 !определить четыре формы потери устойчивости
MXPAND, 4,,, 0
SOLVE !запуск на решение
FINISH
/POST1 !вход в постпроцессор
SET, FIRST !прочитать первый ряд расчётных значений
PLDISP, 0 !вывести деформированную форму графически
SET, NEXT !следующая деформированная форма (рис.3.37)
PLDISP, 0
Листинг со значениями критических сил можно получить так:
Main Menu > General Postproc > Results Summary
|
|
1 форма потери устойчивости |
2 форма потери устойчивости |
|
|
3 форма потери устойчивости |
4 форма потери устойчивости |
Рис.3.37
Критическое
напряжение, соответствующее первой
форме потери устойчивости составляет 