3.4 Устойчивость неразрезных балок
Вопросы точного определения собственных значений упругих систем имеют большое практическое значение и весьма актуальны, несмотря на наличие мощных средств численного анализа. Связано это с формированием математических моделей. В методе конечных элементов такие модели приближенны и точность достигается дроблением сетки конечных элементов. Методы сил, перемещений, начальных параметров позволяют создать точные математические модели, но определители этих методов содержат точки разрывов 2-го рода уже после второго собственного значения (частоты или критической силы), что существенно сказывается на точности определения старших собственных значений.
В численно-аналитическом варианте метода граничных элементов [3] можно составить такие модели, где будут отсутствовать недостатки и аккумулироваться преимущества существующих методов расчета. Собственные значения и соответствующие им собственные формы по данному варианту МГЭ определяются из матричных уравнений
|
(3.11) |
|
(3.12) |
где 
—
квадратная матрица граничных значений
фундаментальных функций соответствующего
дифференциального уравнения задачи;
—
вектор
начальных и конечных граничных параметров
системы;
—
единичная
матрица-вектор;
—
критические
силы потери устойчивости;
—
частоты
собственных колебаний;
—
длины
элементов конструкции.
В
данном представлении уравнение (3.11) не
содержит точек разрыва 2-го рода
(отбрасываются недостатки методов
начальных параметров, сил и перемещений),
а собственные значения 
и 
определяются
точно в рамках принятых гипотез и
допущений (отбрасывается недостаток
МКЭ). Использование уравнения (3.12)
позволяет сравнительно просто строить
формы собственных значений упругих
систем, привлекая, например, среду
моделирования и визуализации расчетов
MATLAB [18].
Таким образом, применение МГЭ снимает ряд проблем при решении задач устойчивости и динамики различных упругих систем. Однако вызывает научный и практический интерес сравнение результатов МГЭ и МКЭ при решении задач устойчивости и динамики. Таких данных в литературе весьма мало и они касаются лишь специфических задач. Необходима более обширная картина такого сопоставления по ряду конструкций.
В качестве первого шага на этом пути рассмотрим неразрезную трехпролетную балку с консолью (рис.3.11), для которой определим первые пять критических сил и соответствующие им формы потери устойчивости.
Рис.3.11
Расчеты выполним методом граничных элементов в среде MATLAB и методом конечных элементов в программном комплексе ANSYS. При использовании МКЭ каждый участок балки аппроксимировался последовательно двумя, пятью и десятью конечными элементами. Значения критических сил, вычисленные по обоим методам и относительная погрешность вычислений, представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Значения критических сил (Н*10-6) по методам граничных и конечных элементов
№ силы |
МГЭ |
МКЭ 2 КЭ |
Погр. % |
МКЭ 5 КЭ |
Погр. % |
МКЭ 10 КЭ |
Погр. % |
1 |
1,47894 |
1,4879 |
0,61 |
1,4793 |
0,02 |
1,4790 |
0,004 |
2 |
2,17521 |
2,2048 |
1,36 |
2,1761 |
0,04 |
2,1753 |
0,004 |
3 |
3,50344 |
3,5917 |
2,52 |
3,5090 |
0,16 |
3,5038 |
0,010 |
4 |
5,39596 |
6,5578 |
21,53 |
5,4167 |
0,38 |
5,3975 |
0,070 |
5 |
8,10133 |
9,6708 |
19,37 |
8,1663 |
0,80 |
8,1061 |
0,060 |
Как следует из приведенной таблицы, хорошее совпадение результатов расчета в ANSYS с результатами расчета методом граничных элементов достигается уже при разбиении каждого пролета неразрезной балки на 5 конечных элементов, а при разбиении на 10 элементов различие вообще становится пренебрежимо малым.
Соответствующие вычисленным критическим силам формы потери устойчивости представлены на рис.3.12.
1 форма |
|
2 форма |
|
3 форма |
|
4 форма |
|
5 форма |
|
Рис.3.12
Последовательность действий в программе ANSYS выглядит так:
1.Задаём ключевые точки.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create > Keypoints > In Active CS
В поле NPT Keypoint number вводим номер точки, в полях X, Y, Z Location in active CS — eё координаты. После ввода координат каждой точкинажимаем Apply, после ввода последней — OK.
Точка 1: (0, 0, 0); точка 2: (4, 0, 0); точка 3: (4+6, 0, 0); точка 4: (4+6+3, 0, 0); точка 5: (4+6+3+1, 0, 0).
2. Соединяем точки линиями.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>Straight Line
Курсором мыши попарно выбираем точки: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5; OK.
3. Задаём тип элемента.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete > Add . . .
В окне Library of Element Types выбираем Beam 2D elastic 3, OK. Затем в окне Element Types нажимаем кнопку Options. . . В выпадающем менюOutput at extra intermed pts K9 выбираем 9 intermed pts. OK и Close.
4. Задаём реальные константы элемента.
Main Menu>Preprocessor>Real Constants>Add/Edit/Delete>Add . . .>OK
В окне Real Constants for BEAM 3 вводим следующие параметры:
AREA: 0.1*0.2 !Площадь поперечного сечения;
IZZ: (0.2*0.1**3)/12 !Момент инерции сечения;
HEIGHT: 0.2 !Высота сечения.
OK, Close.
5.Задаём свойства материала.
Main Menu > Preprocessor > Material Props > Materials Models
В правом поле открывшегося окна двойным нажатием левой кнопки мыши выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic
В появившемся окне вводим модуль упругости EX и коэффициент Пуассона PRXY.
EX: 2e11
PRXY: 0.3. OK.
6. Строим конечно-элементную модель.
Main menu > Preprocessor > Meshing > MeshTool
В окне MeshTool нажимаем кнопку Set рядом с Lines. Pick All.
В поле NDIV No. of element divisions, появившегося окна вводим количество разбиений на линии: 10, OK.
Main menu > Preprocessor > Meshing > MeshTool
Нажимаем кнопку Mesh, в окне Mesh Lines — Pick All.
Пронумеруем точки:
Utility Menu > PlotCtrls > Numbering. . .
В строке KP Keypoint numbers ставим переключатель из положения Off в On. OK.
Прорисуем линии:
Utility Menu > Plot >Lines
7. Задаём условия закрепления.
Main Menu>Solution>Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Keypoints
Курсором мыши выбираем точку 1, OK. В появившемся окне выбираем UX и UY. Apply.
Затем выделяем точки 2, 3 и 4, OK. В окне Apply U,ROT on KPs выбираем UY. OK.
8. Прикладываем сосредоточенную нагрузку.
Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural > Force/Moment > On Keypoints
Выделяем точку 5, OK . В появившемся окне в строке Lab Direction of force/mom выбираем FX. В строке VALUE Force/moment value вводим величину нагрузки: -1, OK.
Выделяем всю конструкцию:
Utility Menu > Select > Everything
Переходим в командный режим ANSYS command Promt. После ввода каждой команды нажимаем Enter.
/SOLU !Вход в процессор решения
PSTRES, ON !Установить вычисление напряженного состояния
SOLVE !Запуск на решение
FINISH !Выход из препроцессора решения
/SOLU
ANTYPE, 1 !Анализ на устойчивость в линейной постановке
BUCOPT, SUBSP, 5 !Определить пять форм потери устойчивости
MXPAND, 5,,,0
SOLVE
FINISH
/POST 1 !Вход в постпроцессор
SET, FIRST !Прочитать первый ряд расчетных значений
PLDISP, 1 !Вывести деформированную форму графически
SET, NEXT !Следующая форма
PLDISP, 1
Формы потери устойчивости показаны на рис.3.12.
Листинг со значением критических сил можно получить так:
Main Menu > General Postproc > Results Summary
SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE
1 0.14790E+07 1 1 1
2 0.21753E+07 1 2 2
3 0.35038E+07 1 3 3
4 0.53975E+07 1 4 4
5 0.81061E+07 1 5 5