3.2 Подходы к расчетам на устойчивость в программе ansys
Анализ устойчивости используется как для определения уровня нагрузки, при которой конструкция теряет устойчивость, так и для выяснения, сохраняет ли конструкция устойчивость при заданном уровне нагрузки.
В программе ANSYS существует возможность выполнять два типа анализа устойчивости: в линейной и нелинейной постановке.
С точки зрения линейного подхода, или в рамках задачи на собственные значения, выпучивание упругих систем определяется так называемой эффективной жесткостью, т.е. эффектом изменения жесткости упругой системы с ростом напряжений, когда рост сжимающих напряжений приводит к снижению способности конструкции противостоять нагрузкам, действующим в поперечном направлении. По мере того как растут напряжения сжатия, уменьшается сопротивление боковым силам. При некотором уровне нагрузки этот нейтрализующий эффект превосходит влияние собственной линейной жесткости системы, приводя к выпучиванию.
В программе ANSYS при выполнении линейного анализа устойчивости решается задача на собственные значения. В такой формулировке определяются значения масштабных факторов (собственные значения) для матрицы эффективной жесткости, при которых компенсируется влияние матрицы жесткости системы. Разрешающее уравнение для линейного подхода имеет следующий вид:
([K] - [S]){u} = 0, |
(3.3) |
где
[K] — матрица жесткости конструкции;
[S] — матрица эффективной жесткости;
— собственное значение (масштабный фактор);
{u} — собственный вектор, определяющий форму выпучивания.
Точка на кривой “нагрузка-смещение”, которая соответствует началу выпучивания, называется точкой бифуркации, так как в этой точке происходит разветвление форм равновесия. За точкой бифуркации система теряет устойчивость или продолжает нести нагрузку в некотором новом равновесном состоянии (рис.3.3).
Рис.3.3
Следует иметь в виду, что линейный подход не может учесть нелинейности любого рода и несовершенства системы. Эти факторы, если они присутствуют в реальной конструкции (а они обычно имеются), приводят к снижению нагрузок, полученных в линейном случае. Вместе с тем, линейный анализ весьма эффективен и потому требует относительно немного компьютерного времени по сравнению с нелинейным подходом. Его полезно использовать для изучения общего поведения конструкции перед выполнением нелинейного анализа устойчивости или перед более серьезным исследованием.
Для более точного определения критических нагрузок следует использовать нелинейное решение. Нелинейный анализ устойчивости - это, в сущности, исследование влияния больших смещений. Программа ANSYS корректирует ориентацию элементов конструкции, используя комбинированный способ решения на основе метода Ньютона-Рафсона в сочетании с техникой корректирующих дуг Рикса.
Подход, использующий процедуру последовательных приближений Ньютона-Рафсона, приводит к следующему соотношению, справедливому для некоторой равновесной итерации:
[K] i-1 {u}i = {F} - {Fel }i-1, |
(3.4) |
где
[K] i-1 — матрица жесткости на предыдущей итерации;
{u}i — вектор, компонентами которого являются приращения перемещений двух последовательных итераций {u}i = {u }i-1 + {u}i;
{u}i — вектор перемещений, относящихся к текущей итерации;
{F} — вектор приложенных к системе сил;
{Fel}i-1 — вектор упругих сил, соответствующих перемещениям предыдущей итерации с номером (i - 1).
В программе ANSYS нелинейный анализ устойчивости выполняется за счет постоянного контроля за поведением приращений u в итерационном процессе. Обычно при решении задач с учетом больших смещений факт уменьшения прироста перемещений между итерациями свидетельствует о достижении системой стабильного, устойчивого состояния. Однако если конструкция нагружена выше критического уровня, то приращения u будут расти от итерации к итерации (т.е. решение расходится). Критической нагрузкой (нагрузкой, соответствующей потере устойчивости) является тот ее уровень, при котором решение начинает расходиться.
Величина критической нагрузки, полученной при нелинейном подходе, обычно ниже той, которая определяется точкой бифуркации линейного решения (рис.3.3). Это различие обусловлено тем, что при нелинейном решении возможно учесть присущие реальным конструкциям начальные несовершенства и нелинейности (геометрические и физические).
Другим приложением нелинейного подхода к устойчивости является анализ систем, теряющих устойчивость с перескоком. Многие системы после достижения точки бифуркации могут переходить в новое устойчивое состояние при дальнейшем росте нагрузки. Примером такой системы может служить пологая арка с шарнирно закрепленными концами, которая нагружена сжимающей силой, приложенной в ее вершине. С ростом нагрузки арка будет прогибаться вниз, пока не достигнет критической точки и более не сможет противостоять растущей нагрузке. Затем арка прощелкивается в новую форму и вновь начнет сопротивляться нагрузке. Эта новая устойчивая форма может быть найдена, если продолжить процесс сходящихся итераций до критической точки или за нее.
Как при определении критической нагрузки, так и при анализе закритического поведения конструкций используется метод корректирующих дуг. Если использовать немодифицированный метод приращений Ньютона-Рафсона, то матрица жесткости системы может оказаться сингулярной в тех случаях, когда происходит полная потеря равновесной формы или перескок в новое устойчивое состояние. Метод корректирующих дуг вынуждает сходиться равновесные итерации Ньютона-Рафсона в пределах отрезков определенной длины на кривой “нагрузка-перемещение”, что и позволяет осуществлять нелинейный анализ (рис.3.4, 3.5).
|
|
Рис. 3.4 |
Рис. 3.5 |
