2. Основы теории подобия.

2.1 Основные понятия и определения.

Теория подобия – это учение о подобных явлениях. Прежде всего оно включает в себя геометрическое подобие. Геометрические фигуры одинаковой формы (например, треугольники) подобны, если соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется константой геометрического подобия:

l^’’/l^’ =c_l.

При этом отрезки, исходящие из соответственных вершин и связанные соотношением подобия

l^’’/l^’ =с_l,

называются сходственными отрезками, а их координаты – сходственными точками:

x^’’/x^’ = y^’’/y^’ = z^’’/z^’ = c_l.

Подобие в физических явлениях требует соблюдения следующих условий. Физические явления могут рассматриваться как подобные, если они относятся к классу явлений одной и той же природы, описываются одинаковыми по форме и содержанию уравнениями. Обязательной предпосылкой физического подобия является геометрическое подобие. Кроме того, для подобных явлений обязательно подобие всех существенных величин. Поясним сказанное на примерах. Тепловое подобие означает подобие температурных полей и тепловых потоков; динамическое подобие означает подобие силовых полей; кинематическое подобие означает подобие траекторий и скоростей, и т.д. Сопоставлять можно только однородные величины (имеющие одинаковый физический смысл и одинаковую размерность) в сходственных точках и в сходственные моменты времени.

Два промежутка времени τ^’’ и τ^’ называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны равенством: τ^'' /τ^' = с_τ .

Константы подобия – это коэффициенты, показывающие, во сколько раз физические величины одной системы (явления) отличаются от тех же величин другой – подобной – системы. Для того, чтобы быть уверенными в том, что две рассматриваемые системы (лабораторная модель и натурная система) подобны, нужно иметь критерии подобия.

2. Вывод критериев подобия.

Рассмотрим условия подобия двух систем, в которых происходит конвективный теплообмен. Для подобия явлений, происходящих в этих системах, необходимо выполнение трех условий подобия:

1. протекающие процессы относятся к явлениям одной природы, качественно одинаковы и описываются тождественными уравнениями;

2. процессы протекают в геометрически подобных системах;

3. физические величины, характеризующие подобие явлений, подобны, т.е. в сходственных точках и в сходственные моменты времени однородные величины связаны соотношениями подобия: φ’’/φ^’ = c_φ.

Запишем уравнения конвективного теплообмена для обеих систем.

(1)

(2)

(3)

– для одной системы, и аналогичные – для второй системы.

(1^’)

(2^’)

(3^’)

В соответствии с третьим условием подобия однородные физические величины в этих системах должны быть связаны условиями подобия:

x^’ = c_lx, w^’ = c_ww, μ^’ = c_μ μ, t^’ = c_tt

и т.д. для всех участвующих в уравнениях величин. Выразим уравнения для второй системы (обозначения со штрихами) через координаты и физические величины первой системы. Мы получим в результате следующие уравнения:

(1^”)

(2^”)

(3^” )

По первому условию подобия уравнения, описывающие подобные явления, в обеих системах должны быть тождественны по форме. Поэтому комбинации из коэффициентов подобия в каждом из уравнений (1^”), (2^”), (3^”) должны быть равны между собой, чтобы, сократив их, мы получили систему (1), (2), (3). Из этого условия получим систему равенств:

Таким образом, оказывается, что комбинации из констант подобия определенным образом связаны между собой. Используя эти соотношения, получают некоторые инварианты, или критерии подобия. Рассмотрим примеры. Возьмем из первого ряда равенств соотношение

.

После сокращений и с учетом того, что каждая константа подобия есть отношение соответствующих физических величин в двух подобных системах, получим:

.

Это соотношение является инвариантом при переходе от одной системы к другой, ей подобной. Оно носит название критерия Рейнольдса. Чаще его записывают через коэффициент кинематической вязкости

ν = μ/ρ: .

Критерий Рейнольдса является одним из основных критериев гидродинамического пособия. Аналогичным образом можно получить другие критерии подобия, например: критерий Эйлера

критерий Фруда

,

критерий Струхаля

и т.д.

Из второго ряда равенств получим критерии теплового подобия. Например,

Отсюда следует:

–

критерий Пекле. Критерий Пекле можно представить как произведение двух других критериев:

где – критерий Прандтля.

Из равенства

следует

– критерий Фурье.

Наконец, из третьего ряда имеем равенство:

,

откуда следует

– критерий

Нуссельта. В отличие от критерия Био

,

который нам знаком по нестационарной теплопроводности, здесь λ – коэффициент теплопроводности среды.

Критериев подобия существует гораздо больше, чем мы здесь рассмотрели. Они названы именами известных ученых, занимавшихся проблемами гидрогазодинамики и теплообмена. Кроме того, что эти критерии являются инвариантами для двух подобных физических систем, они имеют определенный физический смысл. Так, критерий Рейнольдса является мерой соотношения сил инерции, связанных со скоростью потока, и сил внутреннего трения, зависящих от вязкости среды. Критерий Пекле является мерой соотношения конвективного и молекулярного переносов теплоты в потоке. Критерий Нуссельта является безразмерным коэффициентом теплоотдачи. Критерий Био – мерой соотношения процессов теплоотдачи с поверхности тела и теплопроводности внутри тела.

Основные положения теории подобия сформулированы в виде трех теорем.

Первая теорема подобия. Подобные между собой физические процессы (или системы) имеют одинаковые критерии подобия.

Вторая теорема подобия. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть представлены в виде функциональной зависимости между критериями подобия, например,

Nu = f(Re,Pr).

Третья теорема подобия. Для того, чтобы физические процессы (или системы) были подобны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы эти процессы были качественно одинаковы, а их одноименные критерии численно равны.

Поскольку невозможно добиться равенства абсолютно всех критериев подобия в двух физических системах, на практике, как правило, прибегают к приближенному моделированию. А именно, удовлетворяют требованию равенства лишь основных критериев подобия, являющихся определяющими для данного процесса. Так, в случае исследования нестационарной теплопроводности существенными являются критерии Био и Фурье. В случае изучения переноса теплоты при вынужденной конвекции – критерии Рейнольдса, Пекле, Прандтля, Нуссельта, Фурье. При физическом моделировании на лабораторных экспериментах получают эмпирические соотношения в виде функциональной зависимости между собой критериев подобия. Если в натурном эксперименте выполняются условия подобия, то полученные соотношения будут справедливы и для него.