Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
Даны вершины треугольника : . Найти:
а) уравнение стороны ;
б) уравнение высоты ;
в) уравнение медианы ;
г) уравнение биссектрисы ;
д) точку пересечения медианы и высоты ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне ;
ж) расстояние от точки до прямой .
1. |
|
16. |
|
2. |
|
17. |
|
3. |
|
18. |
|
4. |
|
19. |
|
5. |
|
20. |
|
6. |
|
21. |
|
7. |
|
22. |
|
8. |
|
23. |
|
9. |
|
24. |
|
10. |
|
25. |
|
11. |
|
26. |
|
12. |
|
27. |
|
13. |
|
28. |
|
14. |
|
29. |
|
15. |
|
30. |
|
§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
Найти расстояние
от точки
до плоскости, походящей через три точки
.
Решение:
Уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки
и
,
имеет вид:
Уравнение плоскости,
проходящей через точки
и
:
Значит,
Раскладывая данный определитель по элементам первой строки, получим:
,
,
,
- уравнение плоскости
.
Расстояние от
точки
до плоскости
вычисляется по формуле:
.
Так как и - уравнение плоскости получим:
(ед.дл.).
Ответ:
- уравнение плоскости
,
(ед.дл.)
- расстояние от точки
до плоскости
.
Пример 3.3
Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
,
если
и
.
Решение:
Воспользуемся формулой:
,
где
- нормальный вектор плоскости, проходящей
через точку
.
В данном случае
и плоскость проходит через точку
,
значит, уравнение плоскости будет иметь
вид:
Ответ:
Пример 3.4
Найти угол между
плоскостями:
и
.
Решение:
Пусть даны плоскости
и
.
Углом между двумя плоскостями называется
любой из двух двугранных углов,
образованных этими плоскостями. Один
из этих двугранных углов равен углу
между векторами
и
,
перпендикулярными к данным плоскостям,
т.е.
.
Тогда
.
Имеем,
.
Тогда
Ответ:
Задания для самостоятельного решения.
Задание 3.2
Найти расстояние от
точки
до плоскости, проходящей через точки
.
Задание 3.3
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Задание 3.4
Найти угол между плоскостями.
§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 3.5
Написать каноническое уравнение прямой, заданной общим уравнением:
Решение:
Каноническое уравнение прямой имеет вид:
,
где
- точка, лежащая на прямой, а
- направляющий вектор, т.е. вектор
коллинеарный данной прямой. Точку
найдем из системы, определяющей общее
уравнение прямой, полагая одну ее
координату известной, например
.
.
Получили
.
Найдем направляющий
вектор
.
Так как линия пересечения плоскостей
и
перпендикулярна к обоим нормальным
векторам
и
,
то в качестве направляющего вектора
можно взять вектор
.
Тогда каноническое
уравнение прямой:
.
Ответ: - каноническое уравнение прямой.
Задания для самостоятельного решения.
Задание 3.5
Написать каноническое уравнение прямой.
§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Пример 3.6
Найти точку
пересечения прямой
и плоскости
.
Решение:
Представим прямую параметрическими уравнениями:
Пусть
- точка пересечения прямой и плоскости.
Так как искомая точка
лежит и на прямой и на плоскости, то ее
координаты удовлетворяют уравнению
плоскости
.
Имеем:
Подставляя
в соотношения, определяющие параметрические
уравнения данной прямой, получим
координаты точки
:
Итак, точка
пересечения прямой и плоскости
.
Ответ: - точка пересечения прямой и плоскости.