Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

1.	,	,	,	.
2.	,	,	,	.
3.	,	,	,	.
4.	,	,	,	.
5.	,	,	,	.
6.	,	,	,	.
7.	,	,	,	.
8.	,	,	,	.
9.	,	,	,	.
10.	,	,	,	.
11.	,	,	,	.
12.	,	,	,	.
13.	,	,	,	.
14.	,	,	,	.
15.	,	,	,	.
16.	,	,	,	.
17.	,	,	,	.
18.	,	,	,	.
19.	,	,	,	.
20.	,	,	,	.
21.	,	,	,	.
22.	,	,	,	.
23.	,	,	,	.
24.	,	,	,	.
25.	,	,	,	.
26.	,	,	,	.
27.	,	,	,	.
28.	,	,	,	.
29.	,	,	,	.
30.	,	,	,	.

Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1

Даны вершины треугольника : . Найти:

а) уравнение стороны ;

б) уравнение высоты ;

в) уравнение медианы ;

г) уравнение биссектрисы ;

д) точку пересечения медианы и высоты ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне ;

ж) расстояние от точки до прямой .

Решение:

а) Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид:

.

Значит, уравнение стороны проходящей через точки и будет следующим:

,

откуда

или

Таким образом, .

б) Составим уравнение высоты . Так как - высота, то прямые и перпендикулярны.

I способ: Для того, чтобы прямые и были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были связаны соотношением .

Угловой коэффициент прямой равен , так как или . Тогда .

Уравнение высоты ищем в виде:

,

где - координаты точки, принадлежащей прямой, - угловой коэффициент искомой прямой.

Прямая проходит через точку с угловым коэффициентом . Получим:

II способ: Для составления уравнения высоты используем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором :

.

В данном случае прямая проходит через точку , в качестве нормального вектора берем вектор , т.е. . Получим:

Таким образом, :

в) Пусть точка - середина стороны . Координаты точки определим из соотношений:

.

Получим: .

Таким образом, точка .

Уравнение медианы составляем по двум точкам и , используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Таким образом, .

г) Найдем уравнение биссектрисы . Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.

.

Имеем:

.

Отсюда .

Значит, .

Определим координаты точки L, делящей отрезок BC в отношении :

Получили точку .

Биссектриса проходит через две точки и . Её уравнение имеет вид:

откуда или .

Получили уравнение биссектрисы : .

д) Найдем точку пересечения медианы и высоты . Для этого решим систему:

Таким образом, .

Заметим, что точка совпала с точкой , значит, стороны и взаимно перпендикулярны и треугольник - прямоугольный. Кроме того, высота СН совпадает со стороной АС.

е) Составим уравнение прямой, проходящей через вершину , параллельно стороне .

Так как угловой коэффициент прямой ( ) , то для прямой, параллельной стороне .

Уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом имеет вид:

Прямая проходит через точку , параллельно стороне .

ж) Для определения расстояния от точки до прямой используем формулу:

.

Значит, расстояние от точки до прямой равно:

(ед.).

Рисунок 1

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) (ед.).