Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.

Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения для элементов . Вычислить определитель :

а) разложив его по элементам первой строки;

б) разложив его по элементам третьего столбца;

в) получив предварительно нули в четвертом столбце.

Решение:

Минором элемента определителя -го порядка называется определитель ( )-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания -ой строки и -го столбца. Обозначается . Найдем миноры для заданных элементов .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма – четная и “-”, если эта сумма нечетная. Обозначается .

.

Вычислим алгебраические дополнения элементов

а) Вычисление определителей четвертого порядка и выше удобно проводить, используя свойство: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, то есть

или .

Эти формулы называются разложением определителя по элементам ой строки или го столбца соответственно.

Разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки:

Получим:

б) Вычислим определитель, разложив его по элементам третьего столбца:

в) Вычислим определитель, получив предварительно нули в четвертом столбце.

• элементы третьей строки (рабочей) перепишем в преобразованный определитель без изменений;

• умножим все элементы третьей строки на (-3), прибавим к соответствующим элементам первой строки, а результаты запишем в первую строку преобразованного определителя;

• умножим элементы третьей строки на (-1) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, результат запишем во вторую строку преобразованного определителя;

• умножим все элементы третьей строки на (-2), прибавим к соответствующим элементам четвертой строки, результат запишем в четвертую строку преобразованного определителя.

После этих преобразований значение определителя не изменится, но он примет следующий вид:

Теперь, разложив определитель по элементам четвертого столбца, вычислим его:

;

По такой схеме можно вычислить определитель любого порядка.

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения.

Задание 1.1.

Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель :

а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18. ,

19. , 20. ,

21. , 22. ,

23. , 24. ,

25. , 26. ,

27. 28. ,

29. , 30. .

§2. МАТРИЦЫ

Пример 1.2.

Даны две матрицы и .

Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение:

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т.е. для согласованных матриц.

Если матрица согласованна с матрицей , то произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов ой строки матрицы на соответствующие элементы го столбца матрицы :

,

или

.

В общем виде произведение матриц размерности выглядит следующим образом:

а)

б)

в) Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие , где - единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет ту же размерность, что и матрица .

Всякая невырожденная квадратная матрица третьего порядка имеет обратную :

.

Вычислим определитель данной матрицы (используем разложение по элементам первой строки):

Так как , то матрица невырожденная и для нее можно составить обратную .

Находим алгебраические дополнения:

Запишем обратную матрицу :

.

г) Найдем произведение данной матрицы на обратную :

д) Найдем произведение обратной матрицы на данную :

.

Так как , то обратная матрица вычислена верно.

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Задания для самостоятельного решения.

Задание 1.2.

Даны две матрицы А и В.

Найти: а) АВ; б) ВА; в) ; г) ; д) .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Пример 1.3.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

Решение:

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

.

Для этого умножим первую строку матрицы на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей.

Далее из второй строки вычтем третью, в результате в полученной матрице вторую строку сократим на (-5):

Ранг матрицы в ее ступенчатом виде равен числу ненулевых строк. Ранг матрицы и ранг матрицы .

Так как ранги матриц и одинаковы и равны количеству неизвестных, то данная система совместна и имеет единственное решение.

а) Решим систему линейных уравнений по формулам Крамера.

Вычислим главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы:

.

Так как , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

,

где вспомогательные определители получаются из главного определителя путем замены соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов столбцом свободных членов.

Вычислим вспомогательные определители:

.

По формулам Крамера имеем:

Ответ: .

б) Рассмотрим матричный метод решения данной системы линейных уравнений:

Решение:

Имеем:

Запишем данную систему в матричной форме:

Если матрица - невырожденная, т.е. определитель системы , то, умножая обе части матричного уравнения на матрицу слева, получаем решение системы в матричной форме:

.

Вычислим (смотри вычисление случай а)).

Матрица невырожденная и искомое решение имеет вид:

, где - обратная матрица.

Обратная матрица существует, т.к. . Найдем ее.

Решение системы:

Ответ:

в) Решим систему методом Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на (-2) и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на (-3) и сложим с третьим уравнением:

Далее из второго уравнения вычтем третье, и затем все коэффициенты разделим на (-5), получим:

Из полученной системы находим

Ответ: