Пример 4.3
Вычислить пределы иррациональных функций:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а)
Имеем неопределённость
вида
.
Числитель дроби
содержит иррациональное выражение.
Избавимся от иррациональности, умножая
числитель и знаменатель дроби на
выражение
,
сопряженное числителю. После этого,
сокращая на
и, пользуясь теоремой о пределе частного,
получим:
Ответ:
.
б)
Имеем неопределённость
вида
.
Для ее устранения, домножим числитель
и знаменатель на такое выражение, чтобы
получить сумму кубов, т.е.
.
Так как,
и, принимая
,
,
умножаем числитель и знаменатель на
неполный квадрат разности
и
,
т.е. на
.
Получим:
Ответ:
.
в) .
Имеем неопределённость
вида
.
Для того, чтобы ее устранить, числитель
и знаменатель умножаем на выражение
,
сопряженное числителю, и на выражение
,
дополняющее знаменатель до разности
кубов. Получим:
Ответ:
2,4.
Задания для самостоятельного решения. Задание 4.2. Вычислить пределы дробно-рациональных функций
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Задание 4.3. Вычислить пределы иррациональных функций
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
. |
27. |
. |
28. |
|
29. |
|
30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§ 3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Пример 4.4
Вычислить пределы,
используя первый замечательный предел
и его следствия: а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а) .
I
способ. При
имеем неопределённость вида
.
Учитывая,
что
и, используя первый замечательный предел
,
получим:
.
II
способ. Воспользуемся эквивалентными
бесконечно малыми функциями. Так как
при
имеем:
,
,
получим:
.
Ответ: 4.
б)
Так как
и при
:
,
,
,
значит
.
Поэтому
Ответ:
.
в) .
Здесь числитель
и знаменатель – бесконечно малые функции
при
.
Однако
не является бесконечно малой величиной
(стремится не к нулю, а к
).
Поэтому введем бесконечно малую
,
тогда
и, если
,
то
.
Получим:
.
Здесь воспользовались
эквивалентными бесконечно малыми: при
.
Ответ: .