Пример 3.11

Определить вид кривой и ее расположение на плоскости по уравнению:

.

Решение:

Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения:

.

Разделим обе части уравнения на 36:

.

Сравниваем полученное уравнение с уравнением , которое определяет эллипс с центром в точке и полуосями и , заключаем, что искомое уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и (рис. 4).

Рисунок 4

Ответ: данное уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и .

Пример 3.12

Написать уравнение траектории точки обладающей свойством: М в 2 раза ближе к точке А(4;0), чем к точке В(-2;0).

Решение:

Координаты точки М обозначим и , т.е. . По условию задачи . Расстояние между двумя точками и определяется по формуле:

.

Тогда

,

.

Подставляя эти выражения в равенство , получим уравнение траектории движения точки :

.

Упростим полученное уравнение:

;

;

Разделим обе части уравнения на 3 и, дополняя до полных квадратов, находим

;

;

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением , которое определяет окружность с центром в точке и радиусом , заключаем, что , , , т.е. искомое уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом (рис. 5).

Рисунок 5

Ответ: .

Пример 3.13

Написать уравнение траектории точки обладающей свойством: М в 2 раза ближе к точке А(0;-1), чем к прямой .

Решение:

Пусть - произвольная точка искомой линии. По условию задачи , где - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Расстояние между двумя точками и определяется по формуле:

.

Тогда

.

Запишем расстояние от точки до прямой , т.е. до точки , получим:

.

Подставляя эти выражения в равенство , получим уравнение траектории движения точки :

.

Преобразуем полученное уравнение:

;

.

Дополняя до полных квадратов, находим:

; ;

; .

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и (рис. 6).

Рисунок 6

Ответ: .

Пример 3.14

Написать уравнение траектории точки обладающей свойством: равноотстоит от точки и прямой .

Решение:

Пусть - произвольная точка искомой линии. По условию , где - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

Так как

=

,

то

,

откуда

.

Приводя подобные слагаемые, получим уравнение.

которое определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии (рис. 7)

x C(0; -1) y

Рисунок 7

Задания для самостоятельного решения.

Задание 3.8.

Написать уравнение траектории точки обладающей свойством:

• в раз ближе к точке А, чем к точке В и построить ее (для вариантов 1-15).

• в раз ближе к точке А, чем к прямой и построить ее (для вариантов 16-30).

1.			.
2.			.
3.			.
4.			.
5.			.
6.			.
7.			.
8.			.
9.			.
10.			.
11.			.
12.			.
13.			.
14.			.
15.			.
16.			.
17.			.
18.			.
19.			.
20.			.
21.			.
22.			.
23.			.
24.			.
25.			.
26.			.
27.			.
28.			.
29.			.
30.			.