6. Распределение скоростей молекул по Максвеллу.

Молекулы идеального газа совершают беспорядочное тепловое движение. Ввиду полной беспорядочности движения молекул и огромного их числа нет возможности судить о скорости каждой молекулы в любой момент времени. Возможно определить лишь число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей.

Теоретически задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения решил Максвелл. Он показал, что число молекул, имеющих малые скорости и большие скорости относительно мало. Оказывается, что скорости большинства молекул лежат в окрестности некоторой средней скорости. С помощью теории вероятностей (1859) Максвеллу удалось вывести формулу для относительной частоты, с которой в газе при данной температуре встречаются молекулы со скоростями в определенном интервале значений.

Если N - общее число молекул газа, dN - число молекул, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv, то закон распределения Максвелла запишется в виде:

(1)

По определению плотности вероятности , поэтому здесь

(2)

– функция распределения. Она указывает долю молекул dN/N, обладающих скоростями, лежащими в интервале dv около значения скорости v. Из этой формулы видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (m₀) и от параметров состояния (Т).

График функции распределения приведен на рис.6.1. Так как при возрастании v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель v², то функция , начинаясь от нуля, достигает максимума при v_в и затем асимптотически стремится к нулю. Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которую называют наиболее вероятной скоростью v_в. Скорости, превышающие v_в, встречаются чаще, чем меньшие скорости. Кривая асимметрична относительно v_в. Относительное число молекул, скорости которых находятся в интервале от v до v+dv, находится как площадь заштрихованной полоски. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что f(v) удовлетворяет условию нормировки: .

Значение наиболее вероятной скорости v_в находят, исследуя f(v) на экстремум: .

Значения v=0 и v= соответствуют минимумам распределения (1), а значение v, при котором выражение в скобках равно нулю, и есть наиболее вероятная скорость:

v_в= .

Из полученной формулы видно, что с повышением температуры газа максимум кривой распределения смещается в сторону больших скоростей. Однако площадь, ограниченная кривой остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться, то есть наиболее вероятная скорость возрастает, а доля молекул, обладающих этой скоростью, уменьшается.

Если выразить скорости молекул не в обычных единицах, а в относительных, приняв за единицу скорости наиболее вероятную скорость молекул, то распределение Максвелла принимает вид:

,

где u=v/v_и – относительная скорость молекул.

Средняя скорость молекулы v (средняя арифметическая скорость) определяется из условия:

.

Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем:

Итак, различают следующие характерные скорости молекул газа:

1) наиболее вероятная скорость v_в = ;

2. 

   средняя арифметическая скорость ;

3) средняя квадратичная скорость v_кв= .

Последовательность расположения указанных выше скоростей представлена на графике рис.6.3.