- •Лабораторная работа № I приближенное решение уравнений
- •1.1. Общие сведения
- •1.2. Отрезки изоляции корней
- •1.3. Метод половинного делении
- •1.4. Комбинированный метод хорд и касательных
- •Пример 3. Решить уравнение методом хорд и касательных с точностью 0,01, если известен отрезок изоляции корня .
- •1.5. Сравнительная характеристика методов
- •1.6. Метод итераций.
- •Задания
1.4. Комбинированный метод хорд и касательных
Комбинированный метод включает в себя одновременное применений двух независимых методов приближенного решения уравнений: метода касательных (метод Ньютона) и метода хорд, каждый из которых дает алгоритм построения приближающих последовательностей, сужающих отрезок изоляции корня.
В методе хорд за приближенное значение корня принимаем абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох (см. рис. 1.5), при этом
, (1.5)
а отрезок изоляции корня (в данном случае) сужается в . При других вариантах расположения графика функции отрезок изоляции корня может быть другим (а именно, ).
В методе касательных за приближенное значение корня принимаем абсциссу точки пересечения касательной, проведенной к графику функции в точке В с осью Ох (см. рис. 1.6), при этом
, (1.6)
а отрезок изоляции корня (в данном случае) сужается в . При других вариантах расположения графика функции касательную следует проводить в точке А, при этом , а отрезок изоляции корня может быть . Вообще, касательную проводят в том конце отрезка изоляции корня, где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки ( , где с – это либо a, либо b).
Смысл одновременного применения обоих методов виден на рис. 1.7. При этом отрезок изоляции корня сужается с обеих сторон, что гарантирует высокую эффективность метода.
При этом, если – приближающая последовательность, построенная по методу хорд, a – по методу касательных, то одна из них будет монотонно возрастающей, а вторая – монотонно yбывающей. При других вариантах расположения графика функции последовательности могут меняться местами.
Точный алгоритм построения этих последовательностей следующий:
1) находим отрезок изоляции корня и проверяем условия применимости комбинированного метода:
а) непрерывность , и на ;
б) ;
в) и не обращаются в нуль на .
2) задаем начальные приближения ( - начальное приближение для метода хорд, - начальное приближение для метода касательных):
а) если выполнено условие , то , ;
б) в противном случае , .
3) по формулам (1.5) и (1.6) находим другие элементы приближающих последовательностей. А именно: , .
Остановка вычислений производится при выполнении условия (1.2), приближенное значение корня определяется по формуле(1.3).
Достоинство метода: быстрое получение результата при заданной точности.
Недостаток метода: относительная сложность при проверке всех необходимых для применения метода условий.
Упражнение 6. Докажите: если , то последовательность будет монотонно убывающей, а – монотонно возрастающей.
Упражнение 7. Докажите: если , то последовательность будет монотонно убывающей, а – монотонно возрастающей.
Упражнение 8. Сделайте иллюстрации комбинированного метода для случаев:
1) , на ;
2) , на ;
3) , на .
Упражнение 9. Почему комбинированный метод нельзя использовать в случаях, указанных на рис. 1.2 и 1.3?
Пример 3. Решить уравнение методом хорд и касательных с точностью 0,01, если известен отрезок изоляции корня .
Решение.
Как мы знаем из примера 2, это уравнение имеет только один корень, и он находится на отрезке . Вычислим значения функции на концах отрезка: , .
Проверим выполнение условия б): – условие выполняется.
Найдём производные: и .
На отрезке производные и , т.е. сохраняют знак, следовательно, условие в) выполняется.
Т.к. и , то , .
Найдём следующие приближения корня:
а) по методу касательных:
б) по методу хорд: .
Проверим выполнение условия (1.2): – условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
Новый отрезок изоляции корня имеет вид: .
Продолжим сужение отрезка изоляции корня. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка: , .
Найдём новые значения концов отрезка изоляции корня: , .
Проверим выполнение условия: – условие (1.2) выполняется, значит, цель достигнута.
Найдём приближенное значение корня: .
По правилам приближения примем