4. Решение некоторых задач линейной алгебры

4. Решение некоторых задач алгебры матриц

Напомним основные определения алгебры матриц. Если т*п выражений рас­ставлены в прямоугольной таблице из т строк и п столбцов, то говорят о мат­рице размера т * п. Выражения а_ij, называют элементами матрицы. Элементы а_ij (i=1,…n), стоящие в таблице на линии, проходящей из левого верхнего в пра­вый нижний угол квадрата п* п, образуют главную диагональ матрицы. Матрица размером т*п(т≠ п) называется прямоугольной. Если т=п, то матрицу называ­ет квадратной порядка п. В частности, матрица типа 1 * п - это вектор-строка, а матрица размером т*1 является вектором-столбцом. Число (скаляр) можно рас­сматривать как матрицу типа 1*1.

Квадратная матрица А = {a_ij} размером п * п называется:

■ нулевой, если все ее элементы равны нулю А = {а_ij = 0};

■ верхней треугольной, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю А = {а_ij = 0, для всех i>j};

■ нижней треугольной, если все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю А = {а_ij = 0, для всех i >j);

■ диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю А = {а_ij =0, для всех i≠j};

■ единичной, если элементы главной диагонали равны единице, а все осталь­ные - нулю А = {a_ij = 0, для всех i≠j и a_ij=1 для всех i=j,

■ c квадратной матрицей связано понятие определителя, или детерминанта. Определителем матрицы А является число det A или D, вычисляемое по правилу:

где сумма распределена на всевозможные перестановки (i₁, i₂,… i_n) элементов 1, 2, ... п и, следовательно, содержит п слагаемых, причем = 0, если переста­новка четная, и = 1, если она нечетная. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной, или сингулярной.

С матрицами можно проводить операции сравнения, сложения и умноже­ния. Две матрицы А = {а_ij} и В = {b_ij.) считаются равными, если они одного типа, то есть имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элемен­ты их равны {а_ij} = {b_ij}. Суммой двух матриц А = {а_ij} и В = {b_ij} одинакового типа является матрица С= {с_ij} того же типа, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А = {а_ij} иB= {b_ij}, то есть {с_ij} = {а_ij+b_ij}. Раз­ность матриц определяется аналогично. Произведением числа на матрицу А = {а_ij} (или произведением матрицы на число) называется матрица, элемен­ты которой получены умножением всех элементов матрицы А на число , то есть А = A = А{ *а_ij}. Произведением матриц А = {а_ij) размерностью m*n и B= {b_ij} размерностью р*s является матрица С размерностью т х s, каждый эле­мент которой можно представить формулой {с_ij} = {a_i1b_1j+ a_i2b_2j+ ... + a_inb_in, i= 1, ...m, j=1,..,s}. Таким образом, произведение матриц АВ имеет смысл только тогда, когда количество строк матрицы А совпадает с количеством столбцов В. Кроме того, произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, то есть АВ≠ ВА. В тех случаях, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются перестановочными.

Если в матрице А = {а_ij} размерностью т*n «заменить строки соответствую­щими столбцами, то получится транспонированная матрица А^T = [а_ij]. В част­ности, для вектора-строки транспонированной матрицей является вектор-столбец.

Обратной матрицей по отношению к данной А = {а_ij) размерностью n*n, на­зывается матрица А^-1 = {А_ij} того же типа, которая, будучи умноженной как спра­ва, так и слева на данную, в результате дает единичную матрицу Е = {d_ij} :A*A^-1=А^-1*А=Е. Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы. Всякая неособенная матрица имеет обратную.

Приведем определения некоторых специальных матриц. Квадратная матри­ца называется:

■ симметрической, если А^Т = А;

■ кососимметрической, если А^T = -А;

■ ортогональной, если | А| = det A ≠ 0 и А^Т = А^-1;

■ идемпотентной, если А² = А;

■ инволютивной, если А² = Е, где Е - единичная матрица.

Перейдем к конкретным задачам.

Задача 1.

Для матриц А, В и С проверить выполнение следующих тождеств:

а) (А- В)С=А(В-С);

б) (А^Т+В)С=А^Т* С+В* С.

В листинге 69 видно, что матрицы, получившиеся в результате вычисле­ния левой и правой частей первого тождества равны, следовательно, предпо­ложение а) истинно.

Листинг 69

>> А=[2 3 -2;1 2 5]

А =

2 3 -2

1 2 5

>> В=[2 -1;3 1;1 0]

В =

2 -1

3 1 1 0

>> С=[3 -2;1 4]

С =

3 -2

1 4

>> (А*В)*С

ans =

3 -18

40 -22

>> А*(В*С)

ans =

34 -18

40 -22

Листинг 69 содержит исследование второго тождества. Здесь из левой части равенства вычитаем правую и получаем нулевую матрицу, что также при­водит к выводу об истинности предположения б).

Листинг 69.

>> (А'+В)*С-(А'*С+В*С)

ans =

0 0

0 0

0 0

Задача 2.

Проверить, является ли матрица симметрической.

По определению, для симметрической матрицы А должно выполняться ра­венство А = A^T. Решение, приведенное в листинге 70, показало, что в результа­те вычитания из матрицы А транспонированной матрицы A^T получена нулевая матрица, то есть тождество А = A^T =>А- A^T=0 выполнено и заданная матрица симметрическая.

Листинг 70.

>> А=[2 -1 3; -1 0 5; 3 5 -4] А =

2 -1 3

-1 0 5

3 5 -4

>> А-А'

ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Задача 3.

Проверить, является ли матрица кососимметрической.

Если матрица А кососимметрическая, то для нее должно выполняться свой­ство -А= А^Tили А^T+А = 0. Проверив это равенство для заданной матрицы (лис­тинг 71), мы убеждаемся в его истинности.

Листинг 71

>> А=[0 -1 3;1 0 -5;-3 5 0]

А =

0 -1 3

1 0 -5

-3 5 0

>> А'+А

ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Задача 4.

Проверить, является ли матрица ортогональной.

По определению, ортогональная матрица А обладает следующими свойствами:

• определитель матрицы А отличен от нуля det A ≠ 0;

• транспонированная матрица А равна обратной к А матрице, то есть А^T= А^-1.

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо вычислить оп­ределитель заданной матрицы, и убедиться в том, что он не равен нулю. Затем транспонировать исходную матрицу и найти обратную ей. Если визуально сложно убедиться в том, что транспонированная матрица равна обратной, можно вычис­лить их разность. В результате должна получиться нулевая матрица (листинг 72).

Листинг 72

>> А=[1/3 0 -2/3 -2/3/0 1 0 0;-2/3 0 1/3 -2/3/-2/3 0 -2/3 1/3]

А =

0.3333 0 -0.6667 -0.6667 0 1.0000 0 0

-0.6667 0 0.3333 -0.6667

-0.6667 0 -0.6667 0.3333

>> det(А)%Определитель матрицы А отличен от нуля

ans = -1

>> A'-inv(A)

>> %В результате вычитания из транспонированной матрицы А

>> %обратной ей матрицы получаем нулевую матрицу.

>> %Это значит что А – ортогональная.

ans =

1.0е-015 *

0 0 0.1110 0

0 0 0 0

0 0 -0.1110 0.1110

0 0 0 0

Задача 5.

Проверить, является ли матрица А идемпотентной. Показать, что матрица В = 2А - Е, где Е - единичная матрица, инволютивна.

Для того чтобы выяснить, является ли матрица А идемпотентной, ее необ­ходимо возвести в квадрат и сравнить с исходной, так как, по определению, для идемпотентной матрицы истинно тождество А = А². Определить, является ли матрица В инволютивной, можно, сравнив ее с единичной матрицей. Подроб­но решение задачи приведено в листинге 73.

Листинг 73

>> А=[6 -15;2 -5]

А =

6 -15

2 -5

>> %Матрица А идемпотентна, так как А=А²

>> А^2

ans =

6 -15

2 -5

>> %Формирование матрицы В по формуле, eye(2) - единичная матрица 2x2

>> В=2*А-еуе(2) В =

11 -30

4 -11

>> %Матрица В инволютивна, так как В²=еуе(2)

>> В^2-еуе(2)

ans =

0 0

0 0

Задача 6.

Решить матричные уравнения А*Х=ВиХ*А = В и выполнить проверку.

Матричное уравнение - это уравнение вида А * Х= В или Х* А = В, где Х- это неизвестная матрица. Если умножить матричное уравнение на матрицу, обрат­ную А, то оно примет вид: А^-1АХ= А^-1В или ХАА^-1 = ВА^-1. Так как А^-1А = АA^-1 = Е, а ЕХ = ХЕ=X, то неизвестную матрицу X можно вычислить так: X = А^-1В или Х= ВА^-1. Понятно, что матричное уравнение имеет единственное решение, если А и В - квадратные матрицы n-го порядка и определитель матрицы А не равен нулю. Как решить матричное уравнение в MATLAB, показано в листинге 6.71.

Листинг 74.

>> А=[3 2;4 3]

А =

3. 2

4. 3

>> В=[-1 7;3 5]

В =

-1 7

3 5

>> %Решение матричного уравнения А*Х=В

>> %Первый способ >> Х=А\В

X =

-9 11

13 -13

>> %Второй способ

>> X=inv(A)*B

X =

-9 11

13 -13

>> %Проверка А*Х-В-0

>> А*Х-В

ans =

О О

>> %Решение матричного уравнения Х*А=В

>> %Первый способ

>> Х=В/А

X =

-31.0000 23.0000

-11.0000 9.0000

>> %Второй способ

>> x=B*inv(A)

Х =

-31 23

-11 9

>> %Проверка Х*А-В=0

>> Х*А-В

ans = 0 0

0 0