6. Собственные значения и собственные векторы

Пусть А - матрица размерностью п* п. Любой ненулевой вектор х, принадлежа­щий некоторому векторному пространству, для которого Ах = λх, где λ - неко­торое число, называется собственным вектором матрицы А, а λ - принадлежащим ему или соответствующим ему собственным значением матрицы А.

Уравнение Ах = λх эквивалентно уравнению (А - λ * Е)х = 0. Это однородная система линейных уравнений, нетривиальные решения которой являются ис­комыми собственными векторами. Она имеет нетривиальные решения, толь­ко когда r(А - λ * Е) < п, то есть, если det (A - λ* Е) = 0.

Многочлен det(A - λ * Е) называется характеристическим многочленом матри­цы А, а уравнение det(A - λ* Е) = 0 - характеристическим уравнением матрицы А. Если λ_i - собственные значения А, то нетривиальные решения однородной си­стемы линейных уравнений (А – λ*Е) = 0 есть собственные векторы А, при­надлежащие собственному значению λ_i. Множество решений этой системы уравнений называют собственным подпространством матрицы А, принадлежа­щим собственному значению λ_i, каждый ненулевой вектор собственного под­пространства является собственным вектором матрицы А.

Иногда требуется найти собственные векторы у и собственные значения μ, определяемые соотношением Ay = μ By(y≠ 0), где В - невырожденная матрица. Векторы у и числа т обязательно являются собственными векторами и соб­ственными значениями матрицы B^-1 A. Пусть А = {а_ij} и В= {b_ij}, причем матри­ца В является положительно определенной, тогда собственные значения т со­впадают с корнями уравнения n-й степени det(A - μB) = det(a_ij – μb_ij) = 0.

Это уравнение называют характеристическим уравнением для обобщенной задачи о собственных значениях. Для каждого корня μ кратности т существует ровно т линейно независимых собственных векторов у.

Задача 10.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.

>>А=[5 2 -1;1 -3 2; 4 5 -3]; >> Вектор собственных значений матрицы >> eig(A) ans = 4.9083 -0.0000 -5.9083 >> [L, D]=eig(A) L =%Матрица собственных векторов -0.7961 -0.0493 0.1813

-0.2410 0.5426 -0.5988

-0.5551 0.8385 0.7801

D = %Диагональная матрица собственных значений 4.9083 0 0

О -0.0000 0

О 0 -5.9083

>>Проверка

>> (A-D(l,l)*eye(3))*L(:,l)

ans =

1.0е-015 *

0.1110

0.8882

-0.8882

>>(A-D(2,2)*eye(3))*L(:,2)

ans =

1.0e-015 *

-0.8882

0.8882

-0.8882

>> (A-D(3,3)*eye(3))*L(:,3)

ans =

1.0e-014 *

0.1776

0.0444

0

Задача 11.

Привести заданную матрицу А к диагональному виду.

Задача состоит в том, чтобы для квадратной матрицы А подобрать такую матрицу С, чтобы матрица В= С^-1 * АС имела диагональный вид. Эта задача свя­зана с теорией собственных значений, так как разрешима только в том случае, если матрица С состоит из собственных векторов матрицы А.

В листинге показано, как можно решить поставленную задачу двумя способами. Первый способ сводится к вычислению значения выражения С^-1*АС для чего предварительно, при помощи функции eig(A), формируется мат­рица С, каждый столбец которой соответствует собственному вектору матри­цы А Результаты вычислений, полученные подобным образом, показывают, что главная диагональ диагональной матрицы совпадает с собственными зна­чениями матрицы А. Поэтому второй способ решения этой задачи сводится к формированию диагональной матрицы при помощи функции diag (b), где b-векторГэлементы которого соответствуют собственным значениям матрицы А.

Листинг 78

>> А=[2 1 3;1 -2 1;3 2 2];

>> [C,B]=eig(A)

С =

-0.6798 -0.7071 -0.1326

-0.1875 0.0000 -0.8654

-0.7090 0.7071 0.4832 В =

5.4051 0 0

0 -1.0000 0

0 0 -2.4051

>> b=diag(B)

b =

5.4051

-1.0000

-2.4051

>> %Первый способ

>> inv(C)*A*C

ans =

5.4051 0 -0.0000

-0.0000 -1.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 -2.4051

>> %Второй способ

>> diag(b)

ans =

5.4051 0 0

О -1.0000 0

0 0. -2.4051

Задача 12.

Найти решение обобщенной задачи о собственных значениях для матриц А и В. Обобщенную задачу о собственных значениях (листинг 6.82) в MATLAB ре­шают при помощи функции eig(A,B), которая в качестве результата выдает матрицу обобщенных собственных векторов и диагональную матрицу, содержа­щую обобщенные собственные значения.

Листинг 79.

>> А=[1 -3;-3 4];

>> В=[1 2;-3 1];

>> [X,V]=eig(A, В)

X = %Матрица обобщенных собственных векторов

-1.0000 0.9167

0 1.0000

V = %Матрица, содержащая обобщенные собственные значения

1.0000 0

0 -0.7143

>> v=diag(V) %Обобщенные собственные значения

v ⁼

1.0000 -0.7143

>> %Проверка

>> (A-v(l)*B)*X(:,l)

ans =

1.0е-015 *

-0.1110 0.4441

>> (A-v(2)*B)*X(:,2)

ans =

1.0e-015 *

-0.4441

0