5. Решение систем линейных уравнений

Система m-уравнений с n неизвестными вида называется системой линейных уравнений, причем x_j – неизвестные, - коэффициенты при неизвестных, - свободные коэффициенты (i=1,…,m, j=1,...n):

………………………………….

Кроме этого, система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: A*x=b, где x={x_j} – вектор неизвестных, A={a_ij} – матрица коэффициентов при неизвестных при неизвестных или матрица системы, b= {b_j} – вектор свободных членов системы или векторов правых частей (i=1..m, j=1,..n).

Матрица (A|b), которая формируется путем приписывания к исходной матрице коэффициентов А столбца свободных членов b, называется расширенной матрицей системы.

Если все b_i =0, то речь идет об однородной системе линейных уравнений, иначе говорят о неоднородной системе.

Совокупность всех решений системы (x₁,x_2,…,x_n) называется множеством решений, или просто решением системы. Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одинаковое множество решений.

Однородные системы линейных уравнений Ax=0 всегда разрешимы, так как последовательность (x₁=0, x₂=0,…,x_n=0) удовлетворяет всем уравнениям системы. Решение в этом случае называется тривиальным. Проблема решения однородных систем сводится к вопросу о том существуют ли помимо тривиального другие, нетривиальные решения.

Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения, и тогда она называется несовместной. Например в системе:

левые части уравнения совпадают, а правые различные, поэтому никакие значения x₁ и x₂ не могут удовлетворить обоим уравнения сразу.

Если же система линейных уравнений обладает решением, то она называется совместной. Совместная система называется определенной, если у нее есть единственное решение, и неопределенной, если решение больше чем одно. Так система:

определена и имеет единственное решение =5, , а система уравнений:

Неопределенна, так как имеет бесконечное множество решений вида =k и , где число k произвольное.

Совокупность всех решений неопределенной системы уравнений называется общим решением, а какое-то одно конкретное решение – частным. Частное решение, полученное из общего при нулевых значениях свободных переменны, называется базисным.

При определении совместности систем уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Пусть дана матрица А размером n*m Вычеркиванием из нее некоторых строк и столбцов можно получить квадратные матрицы k – го порядка, определители которых называются минорами порядка k матрицы А. Наивысший порядок не равных нулю миноров матрицы A называют рангом матрицы и обозначают r(А). Из определения вытекает, что r (A) < min(n, m), r(A) = 0, только если матрица нулевая и r (А) = п для невырожденной матрицы n-го порядка. При элементарных преобразованиях (перестановка строк матри­цы, умножение строк на число, отличное от нуля, и сложение строк) ранг матри­цы не изменяется. Итак, если речь идет об исследовании системы на совмест­ность, следует помнить, что система п линейных уравнений с т неизвестными:

• несовместна, если r (А | b) > r (А);

• совместна, если r (А | b) = г (А), причем при r(А | b) = r (А) = m имеет един­ственное решение, а при r (A | b) = r(A) < m имеет бесконечно много ре­шений.

Существует немало методов для практического нахождения решений систем линейных уравнений. Они разделяются на точные и приближенные. Метод от­носится к классу точных, если с его помощью можно найти решение в резуль­тате конечного числа арифметических и логических операций. В этом разделе на конкретных примерах будут рассмотрены только точные методы решения систем.

Задача 7.

Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель = det A мат­рицы системы из п уравнений с п неизвестными Ах = b отличен от нуля (если определитель матрицы системы равен нулю, это не означает, что система не имеет решения; возможно ее нельзя решить по формулам Крамера ), то система имеет единственное решение x_1,…. x₂, ..., х_n, определяемое по формулам Крамера , где - определитель матрицы, полученный из матрицы системы А заменой i-го столбца столбцом свободных членов b. Итак, для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

■ представить систему в матричном виде, то есть сформировать матрицу системы А и вектор правых частей b,

■ вычислить главный определитель ;

■ сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определите­лей _i;

■ вычислить определители ;

■ найти решение системы по формуле

Фрагмент рабочего документа, приведенный в листинге 75, содержит ре­шение поставленной задачи.

Листинг 75.

>> А=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]

>> %Матрица коэффициентов

А =

2 1 -5 1

1 -3 0 -6

0 2 -1 2

0 4 -7 6

>> %Вектор свободных коэффициентов

>> b=[8;9;-5;0]

b =

8 9 -5 0

>> %Первая вспомогательная матрица

>> А1=А;А1(:,1)=b

А1 =

8 1 -5 1

9-3 0 -6

-5 2 -1 2

0 4 -7 6

>> %Вторая вспомогательная матрица

>> А2=А;А2(:,2)=b

А2 =

2 8 -5 1

1 9 0 -6

0-5-12 1 0-7 6

>> %Третья вспомогательная матрица

>> АЗ=А;АЗ(:,3)=b

A3 =

2 1 8 1

1 -39-6 02-52 1 4 0 6

>> %Четвертая вспомогательная матрица

>> А4=А;А4(:,4)=b

А4 =

2 1-5 8

1-3 0 9

0. 2-1-5

1. 4-7 0

>> Главный определитель отличен от нуля

>> D=det(A)

D =

27

>> %Определители вспомогательных матриц

>> d(l)=det(Al);

>> d(2)=det(A2);

>> d(3)=det(A3);

>> d(4)=det(A4);

>> %Вектор неизвестных >>

x=d/D

х =

3 -4 -1 1

>> %Проверка >>

A*x'-b

ans =

0

0

0

0

Предложенное решение системы из четырех уравнений с четырьмя неизве­стными по формулам Крамера выглядит достаточно громоздко, поэтому на практике его используют довольно редко.

Задача 8.

Решить систему линейных уравнений из задачи 7 методом обратной матрицы. Метод обратной матрицы: для системы из п линейных уравнений с п неизвеcтными Ах= b, при условии что определитель матрицы А не равен нулю, единcтвенное решение можно представить в виде х=А^-1*b (вывод формулы см. в задаче 6). Итак, для того чтобы решить систему линейных уравнений мето-10м обратной матрицы, необходимо выполнить следующие действия:

■ сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов за­данной системы;

■ решить систему, представив вектор неизвестных как произведение мат­рицы, обратной к матрице системы, и вектора свободных членов (лис­тинг 76).

Листинг 76

>> А=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>> b=[8;9;-5;0];

>> %Решение системы: х=А^-1*b

>>inv(A)*b

x =

3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000

>> %проверка: А*х=b

» A*x

ans =

8.0000

9.0000

-5.0000

0.0000

Задача 9.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основыва­ется на том, что от заданной системы, переходят к системе эквивалентной, которая решается проще, чем исходная.

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап - это прямой ход, в резуль­тате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразо­ваний (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, от­личное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду:

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразуют так, что­бы в первых п столбцах получилась единичная матрица:

Последний, п + 1 столбец этой матрицы содержит решение системы линей­ных уравнений.

Исходя из выше изложенного, порядок решения задачи в MATLAB (лис­тинг 77) следующий:

■ сформировать матрицу коэффициентов А и вектор свободных членов b заданной системы;

■ сформировать расширенную матрицу системы, объединив А и b;

■ используя функцию rref , привести расширенную матрицу к ступенчато­му виду;

■ найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, получен­ной в предыдущем пункте;

■ выполнить вычисление Ах - В; если в результате получился нулевой век­тор, задача решена верно.

Листинг 77.

>>Рeшение системы методом Гаусса

>> А=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2);

>> b=[0;1;4];

>> C=rref([A b])%Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

С =

1.0000 0 0 0.4643 О 1.0000 0 1.6786

0 0 1.0000 0.7500 >> х=С(1:3,4:4)%Выделение последнего столбца из матрицы х = %Решение системы 0.4643 1.6786 0.7500 >> А*х %Проверка

ans =

0

1

4