5.2. Линейная независимость и базис векторов

Система векторов , называется линейно зависимой, а вектора, составляющие эту систему – линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, для которых

.

В противном случае система S называется линейно независимой, а сами вектора этой системы – линейно независимыми.

Выражение называется линейной комбинацией векторов . Если числа линейной комбинации удовлетворяют условиям ; , то тогда она называется выпуклой линейной комбинацией.

Пусть – произвольное множество векторов. Система векторов называется базисом в , если выполняются условия:

1) ;

2) система G линейно независима;

3) любой вектор представим в виде линейной комбинации векторов системы G, то есть,

. (5.1)

Формула (5.1) называется разложением вектора по базису G. Величины при этом называются i-ми координатами вектора в базисе G.

Справедливы следующие утверждения:

1. Всякая система векторов имеет по меньшей мере один базис; при этом все базисы данной системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы и обозначаемого как .

2. Ранг всего пространства равен n и называется размерностью этого пространства.

Каноническим базисом в называется система единичных векторов , где

Компоненты любого вектора одновременно являются его координатами в каноническом базисе.

При исследовании линейной независимости векторов может быть использовано понятие ранга матрицы.

Пример 5.1. Для системы векторов S={ , , } выяснить, является ли она линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.

Решение. Запишем матрицу А, столбцами которой являются вектора

.

Нетрудно показать, что . Следовательно, заданная система векторов линейно зависима и ее ранг по теореме о ранге матрицы (о базисном миноре) также равен двум. В качестве базисного минора может быть взят любой отличный от нуля минор второго порядка, например, . Отсюда следует, что вектора образуют базис заданной системы векторов.

5.3. Геометрическая интерпретация векторов

5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства

Непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства Например, соответствует числовой прямой, – плоскости, – обычному пространству трех измерений. Базис в пространстве называется прямоугольным, если векторы перпендикулярны и имеют единичную длину. Аналогично, базис в пространстве называется прямоугольным, если векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. Прямоугольные декартовы системы координат в и определяется расположением своих координатных осей вдоль векторов базисов (рис. 5.1) и (рис. 5.2)соответственно.

Длиной, или модулем вектора называется число , если и – компоненты этого вектора в прямоугольной декартовой системе координат, что следует из теоремы Пифагора (рис. 5.1).

Рис.5.1. Модуль равен длине гипотенузы треугольника OPQ

В трехмерном пространстве длина вектора с компонентами будет равна .

Рассмотрим трехмерное пространство . Каждому вектору , то есть каждой упорядоченной тройке чисел в этом пространстве соответствует точка с координатами в прямоугольной декартовой системе координат или отрезок (вектор ), направленный в эту точку из точки начала координат. Отметим, что любому вектору в или можно сопоставить направленный отрезок не единственным способом. Действительно, в случае пространства трех измерений возьмем какую-нибудь точку В с координатами и построим точку С с координатами (рис.5.2):

Рис 5.2. Геометрическая интерпретация вектора

Направленный отрезок (вектор) с началом в точке В и концом в точке С имеет своими проекциями на координатные оси координаты вектора , так что . Если взять в качестве начала отрезка другую точку, то мы получим другое изображение того же вектора (например на рис. 5.2 таким вектором является отрезок с началом в точке О и концом в точке А). Если начало вектора зафиксировано, то такой вектор называют связанным. В противном случае его называют свободным вектором или просто вектором. Таким образом, в геометрической интерпретации под термином вектор понимается любой элемент из множества отрезков фиксированной длины и одного и того же направления.

В результате сложения векторов и получается вектор , который может быть построен либо по правилу параллелограмма либо по правилу треугольника (рис. 5.3). При этом компоненты вектора удовлетворяют соотношению .

Рис. 5.3. Сложение векторов

Умножение вектора на число дает вектор того же направления, но в раз длиннее. Если же , то вектор будет направлен противоположно. В любом случае .

Векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы называются компланарными, если их не меньше трех и все они лежат в одной плоскости. Расстояние между точками и полагается равным . Для любых справедливо неравенство треугольника: , которое может интерпретироваться следующим образом: сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины его третей стороны.

Скалярным произведением ненулевых векторов и в пространствах и называется число , где – угол между двумя ненулевыми векторами и . Если векторы и заданы координатами в прямоугольном базисе, причем , то скалярное произведение равно . При этом .

Геометрические свойства скалярного произведения:

1) вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда ;

2) если – угол между двумя ненулевыми векторами и , то

;

.

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1) ,

2). ,

3)

4) , причем равенство возможно лишь тогда, когда

5) (неравенство Буняковского).

Векторное произведение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от к и от к кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом , определяемый следующими тремя условиями:

– длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

– вектор перпендикулярен плоскости векторов и ;

– упорядоченная тройка векторов правая.

Компоненты вектора в том же, что и векторы и , правом прямоугольном базисе, определяются выражениями , , .

Свойства векторного произведения

1. ,

2. ,

3.

4. , если и коллинеарны,

5. .

Смешанное произведение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число .

Геометрические свойства смешанного произведения:

1. Если V– объем параллелепипеда, построенного на векторах , то

2. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно выполнения условия .

Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, то есть:

.

Смешанное произведение через координаты векторов в правом прямоугольном базисе может быть записано в виде определителя:

.