4.2.2. Метод элементарных преобразований

В основе метода лежит следующий факт: любая невырожденная квадратная матрица A с помощью конечной последовательности элементарных преобразований может быть преобразована в единичную матрицу.

Это означает, что будет иметь место соотношение

, (4.3)

где последовательность специальных матриц вида (2.1) и (2.2), реализующих, согласно теореме о представлении элементарных преобразований матриц операциями умножения, преобразование исходной матрицы A к единичной матрице Е.

Умножая обе части соотношения (4.3) справа на , получим:

, откуда следует

. (4.4)

Из (4.3) и (4.4) вытекает, что те же самые преобразования, с помощью которых исходная матрица A приводится к единичной, после применения к единичной матрице, дают обратную .

Метод элементарных преобразований состоит в выполнении следующих шагов:

Шаг 1. Записывается «двойная» матрица , получаемая приписыванием к исходной матрице А справа единичной матрицы Е.

Шаг 2. Над строками полученной «двойной» матрицы проделываются элементарные преобразования таким образом, чтобы на месте А в итоге получилась бы единичная Е. Тогда на месте Е в «двойной» матрице получается искомая обратная матрица .

Пример 4.2. Пусть . Реализуем метод элементарных преобразований.

Шаг 1. .

Шаг 2.

4.3. Задачи

Методом союзной матрицы и методом элементарных преобразований найти обратные матрицы для следующих матриц:

4.1. а) , б) , в) , г) .

4.2. а) , б) , в) , г) .

4.3. а) , б) , в) .

4.4. а) , б) .

Решить матричные уравнения относительно матрицы X:

4.5. если:

а) б) .

4.6. а) , б) , если , .

4.7. а) б) если A, B – как в 4.6.

4.8. Для и решить следующие системы уравнений относительно матриц и :

а) б)

в) г) д)

5. Векторы

Упорядоченный набор из n чисел называется n-мерным вектором . Сами числа при этом называются компонентами вектора . Общепринятой формой записи вектора является его запись в матричной форме – в виде вектор-столбца:

.

Другой формой записи вектора является вектор-строка: .

5.1. Операции над векторами

5.1.1. Алгебраические операции над векторами

Операции сравнения: два вектора и называются равными (пишут ), если все соответствующие их компоненты совпадают, то есть, если . Говорят, что вектор больше вектора (пишут ), если .

Операция сложения: для любых двух векторов и определен вектор с компонентами , называемый суммой этих векторов.

Операция умножения на число: если число, то для любого существует вектор с компонентами . Векторы и называются пропорциональными или коллинеарными.

Операция вычитания вектора из вектора определяется следующим образом: . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Свойства операций сложения и умножения векторов на число

1. ,

2. ,

3.

4. , ,

5. .

Множество всех n-мерных векторов с вещественными компонентами и введенными выше операциями сравнения, сложения и умножения на число, называется n-мерным векторным пространством и обозначается .