3.3. Методы поиска ранга матрицы

3.3.1. Метод окаймляющих миноров

Пусть некоторый минор k-го порядка не равен нулю, т.е., . Тогда ранг матрицы А по крайней мере равен k, т.е., . Рассмотрим все окаймляющие, т.е. содержащие в себе минор миноры (k+1)-го порядка . Если все они равны нулю, то ранг матрицы А равен k: . В противном случае найдется , и вся процедура повторяется.

Пример 3.3. Пусть . Так как среди элементов матрицы есть ненулевые, то .

Находим любой минор второго порядка, не равный нулю, например, такой: . Это означает, что . Рассматриваем все окаймляющие миноры третьего порядка. Их всего два, и оба равны нулю: ; . Таким образом, ранг матрицы равен двум: .

3.3.2. Метод элементарных преобразований

Метод основан на том факте, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Проделывая элементарные преобразования исходной матрицы, ее приводят к виду, когда все элементы вне главной диагонали равны нулю, а среди элементов главной диагонали только первые s отличны от нуля:

, , . Тогда .

Пример 3.4. Пусть . Рассмотрим следующую цепочку элементарных преобразований матрицы А:

Таким образом, .

3.4. Задачи

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

3.1. . 3.2. . 3.3. .

3.4. . 3.5. .

3.6. . 3.7. . 3.8. .

3.9. .

Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований:

3.10. . 3.11. .

3.12. . 3.13.

3.14. .

3.15. .

3.16. .

Вычислить ранг матрицы:

3.17. . 3.18 .

3.19. .

3.20 . 3.21 .

3.22. . 3.23 .

Чему равен ранг матрицы A при различных значениях ?

3.24. . 3.25. . 3.26. .

3.27. Доказать, что если произведение матриц AB определено, то

.

3.28. Пусть A – невырожденная матрица, а матрицы B и C таковы, что определены. Доказать, что .

3.29. Доказать, что

3.30. Найти базисные миноры для матриц , , , .

4. Обратная матрица

4.1. Основные сведения

Пусть задана квадратная матрица А. Матрица B, обладающая свойством , называется обратной матрицей к А. Обозначается как .

Матрица А называется ортогональной, если .

Теорема об обратной матрице. Справедливы утверждения:

1) Матрица А обладает обратной матрицей тогда и только тогда, когда .

2) Обратная матрица единственна и может быть найдена по формуле

, (4.1)

где – союзная матрица.

Следствие. Из теоремы о связи минора элемента матрицы с его алгебраическим дополнением и теоремы об обратной матрице следует, что

. (4.2)

Формула (4.2) лежит в основе метода поиска обратной матрицы, называемого методом союзной матрицы и изложенного ниже.

4.2. Методы поиска обратной матрицы

4.2.1. Метод союзной матрицы

В основе данного метода лежит теорема об обратной матрице. Метод состоит в выполнении следующих шагов:

Шаг 1. Вычисляется определитель матрицы, по отношению к которой ищется обратная матрица. Если данный определитель равен нулю, то делается заключение об отсутствии обратной матрицы.

Шаг 2. Вычисляются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы и по формуле (4.2) находится искомая обратная матрица.

Пример 4.1. Пусть .

Шаг 1: , следовательно, существует.

Шаг 2: A₁₁ M₁₁ ; A₁₂ M₁₂ ;

A₁₃ M₁₃ ; A₂₁ M₂₁ ;

A₂₂ M₂₂ ; A₂₃ M₂₃ ;

A₃₁ M₃₁ ; A₃₂ M₃₂ ;

A₃₃ M₃₃ .

Таким образом,

.

Метод союзной матрицы имеет существенный недостаток: он требует слишком много вычислений. При поиске обратной матрицы размера необходимо вычислить миноров порядка . Например, при поиске обратной матрицы размера необходимо вычислить 25 определителей 4-го порядка. С вычислительной точки зрения более целесообразным является метод элементарных преобразований.