2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
Минором элемента матрицы А называется определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, содержащих . Минор элемента обозначается как Mij.
Рассмотрим
выражение (2.1) для определителя матрицы
А. Соберем вместе все слагаемые,
содержащие элемент
и вынесем
за скобки. Выражение, оставшееся в
скобках, называется алгебраическим
дополнением элемента
.
Обозначается как Akp.
Замечание 2.1. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы существуют только для квадратных матриц!
Рассмотрим
матрицу (Aij),
которая отличается от матрицы А
только тем, что на месте элементов
в матрице (Aij)
стоят их алгебраические дополнения Aij
. Транспонируем матрицу (Aij).
Полученная таким образом матрица
(Aij)T
называется союзной матрицей (по
отношению к матрице А).
Теорема
о связи минора элемента матрицы с его
алгебраическим дополнением.
Алгебраическое дополнение Aij
элемента
матрицы А и его минор Mij
связаны соотношением
.
(2.3)
Пример
2.4. Пусть
.
Тогда M11=1,
A11=
M11
=1; M13=
,
A13=
M13
=
;
M32=2,
A32=
M32
=
.
Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:
Aij
(разложение по i-й
строке); (2.4)
Aij
(разложение по j-му
столбцу). (2.5)
Следствие. Из (2.3), (2.4) и (2.5) следует, что
Mij
(разложение по i-й
строке); (2.6)
Mij
(разложение по j-му
столбцу). (2.7)
Формулы (2.6) и (2.7) служат основой для вычисления определителей методом разложения их по строке (столбцу), который состоит в непосредственном использовании этих формул.
Пример
2.5. 1) пусть
.
Вычисление определителя
методом разложения его по второму
столбцу:
2A12
+ 0A22 + 2A32
2) вычисление определителя четвертого порядка:
.
Теорема об умножении определителей. Пусть A и B – квадратные матрицы размера . Тогда определитель произведения матриц равен произведению их определителей:
. (2.8)
Пример
2.6. Пусть
,
.
Тогда
,
следовательно,
.
С другой
стороны,
значит
.
Таким
образом,
.
2.3. Задачи
Вычислить определители второго порядка:
2.1.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2.2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.3.
а)
;
б)
;
с)
.
Решить
уравнения относительно
:
2.4.
.
2.5.
.
2.6.
.
Вычислить определители третьего порядка:
2.7.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.8.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.9.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.10.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.11.
а)
;
б)
;
в)
.
2.12.
а)
;
б)
;
в)
.
2.13.
а)
;
б)
;
в)
.
2.14.
а)
;
б)
.
2.15.
Показать, что
делится на
и
.
2.16.
Показать, что
делится на
и
.
Доказать следующие тождества:
2.17.
.
2.18.
.
2.19.
.
2.20.
.
Решить
относительно
уравнения:
2.21.
а)
;
б)
;
в)
.
2.22.
.
2.23.
.
Решить относительно неравенства:
2.24.
.
2.25.
.
2.26.
.
2.27.
.
2.28.
.
2.29. Построить графики функций:
а)
;
б)
,
.
Вычислить определители четвертого порядка:
2.30.
а)
;
б)
;
в)
.
2.31.
а)
;
б)
;
в)
.
2.32.
а)
;
б)
.
2.33.
а)
;
б)
;
в)
.
2.34.
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислить определители пятого порядка:
2.35.
а)
;
б)
;
в)
.
2.36.
а)
;
б)
.
Вычислить определители n-го порядка:
2.37.
;
2.38.
.
2.39.
.
2.40.
.
2.41.
.
2.42.
Вычислить определитель
,
где
.
2.43.
Вычислить определитель
,
где
.