1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
Пусть
представляет собой произвольный
вектор-столбец, состоящий из n
числовых элементов, т.е.,
,
а квадратная матрица A
имеет размер
.
Выражение
,
где
,
называется квадратичной формой
матрицы A. Из
определения операций умножения матриц
и транспонирования следует, что
.
Если
для любого вектор-столбца
квадратичная форма матрицы A
удовлетворяет условию
,
то такая матрица называется положительно
(отрицательно) определенной.
Пример
1.8. 1) Матрица
положительно определена, поскольку ее
квадратичная форма
для любого
:
.
2)
Матрица
отрицательно определена, поскольку ее
квадратичная форма
для любого
:
.
1.4. Числовые функции от матриц
Приведем несколько числовых функций от матриц, применяющихся в различных математических моделях экономики.
Следом
матрицы
A называется сумма
элементов ее главной диагонали:
.
След определен только для квадратных
матриц.
l1-нормой
квадратной
матрицы А называется величина
.
Евклидовой
нормой или l2-нормой
квадратной матрицы А называется
величина
.
Рангом
матрицы называется наибольшее число
ее линейно независимых столбцов или
строк.
1.5. Задачи
1.1. Доказать следующие свойства алгебраических операций над матрицами:
а)
;
;
б)
;
;
;
в)
.
Пусть
,
.
Вычислить следующие выражения:
1.2.
;
;
;
.
1.3.
;
.
1.4.
;
.
Пусть
.
Вычислить следующие выражения
1.5.
;
.
1.6.
;
;
.
1.7.
Пусть
,
.
Найти матрицы
и
из
уравнений
;
.
1.8.
Для матриц A и B,
заданных в 1.7, решить следующие системы
уравнений относительно матриц
и
:
а)
б)
Пусть
,
,
,
,
.
Вычислить следующие выражения:
1.9.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
1.10.
;
;
РАМА;
;
;
.
1.11.
Найти произведение
,
если:
а)
,
,
;
,
,
.
1.12.
Найти произведения
и
,
если:
а)
,
;
б)
,
.
1.13. Для матриц A и B, заданных в 1.7, решить следующие системы уравнений относительно матриц и :
а)
б)
в)
1.14.
Найти
,
если
.
1.15.
Пусть
.
Найти значения выражений: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
1.16. Вычислить:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
1.17.
Вычислить для матриц
и
выражения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
1.18. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которой равны нулевой матрице.
1.19. . Найти все матрицы второго порядка, квадраты которой равны единичной матрице.
1.20. Как изменится произведение матриц A и B, если:
а) переставить i-ю и j-ю строки матрицы A;
б)
к i-й строке матрицы
прибавить ее j-ю строку,
умноженную на число
;
в) переставить i-й и j-й столбцы матрицы B;
г) к i-му столбцу матрицы B прибавить ее j-й столбец, умноженный на число .
1.21. Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, найти матрицу X из уравнений:
а)
;
б)
;
в)
,
где
,
,
.
Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, решить следующие системы уравнений относительно матриц X и Y:
1.22.
где
,
.
1.23.
где
,
,
.
Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, решить систему уравнений относительно матриц X , Y и Z:
1.24.
где
,
,
.
1.25. Найти все матрицы, перестановочные с данной;
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
1.26. Доказать соотношения:
а)
; б)
; в)
.
1.27.
Вычислить
и
для заданных матриц A:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
1.28.
Вычислить для
,
,
следующие выражения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
1.29. Найти алгебраические выражения для квадратичных форм заданных матриц:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
1.30. Вычислить значения квадратичных форм матриц:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
1.31.
Пусть
.
Решить относительно
уравнения: а)
,
если
;
б)
,
если
.
1.32. Выяснить тип определенности матриц:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.