6.2. Преобразование базиса

Координаты вектора зависят от выбора базиса. Пусть вектор в «старом» базисе имеет координаты , а в «новом» базисе – координаты (см. рис.6.1 для случая ).

Рис.6.1. Преобразование базиса

Каждый из векторов «нового» базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов «старого» базиса:

6.4)

Полученная система означает, что переход от «старого» базиса к «новому» задается матрицей перехода . Эта матрица не вырождена, так как в противном случае ее строки (а, следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от «нового» базиса к «старому» базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами рассматриваемого вектора в «старом» и «новом» базисах. Из формулы (6.1) следует

. (6.5)

Подставляя выражения из системы (6.4) в левую часть равенства (6.5), после преобразований получим:

то есть, в матричной форме

. (6.6)

Полученные формулы (6.6) представляют собой формулы преобразований координат одного и того же вектора при переходе от «старого» базиса к «новому» базису и наоборот.

Пример 6.1. В базисе заданы векторы , , . Показать, что векторы образуют базис и выразить в этом базисе вектор , имеющий в базисе координаты .

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются :

.

Нетрудно показать, что . Следовательно, , и система векторов линейно независима. Связь между базисами выражается следующим образом:

Матрица перехода от базиса к базису есть . Нетрудно показать, что . Теперь из (6.6) сразу следует

.

Таким образом, новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2; –0,5, и вектор может быть представлен в виде .

6.3. Характеристические числа и векторы

Любое линейное преобразование однозначно определяет матрицу А оператора в заданном базисе пространства .

Ненулевой вектор называется характеристическим (собственным) вектором квадратной матрицы , принадлежащим ее собственному значению , если после преобразования он переходит в вектор, отличающийся от лишь на постоянный множитель , то есть, если

. (6.7)

Числовой множитель называется характеристическим корнем (собственным значением) матрицы А оператора .

Для любого собственного вектора матрицы А, принадлежащего собственному значению и любого числа вектор также является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению .

Многие прикладные задачи экономики сводятся к проблеме отыскания собственных значений и собственных векторов матриц.

Уравнение (6.7) может быть представлено в виде

. (6.8)

Матрица называется характеристической матрицей.

Нетривиальное (ненулевое) решение уравнения (6.8) существует лишь в том случае, если определитель характеристической матрицы равен нулю:

. (6.9)

Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением. Если А – матрица порядка , то характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением степени n относительно :

.

Это уравнение имеет n не обязательно различных корней причем некоторые из них могут быть комплексными числами. Каждому из этих характеристических корней соответствует характеристический вектор, определенный с точностью до постоянного множителя.

Пример 6.2. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид . Уравнение имеет два корня: , . Характеристическими векторами, соответствующими и , являются вектора и , где с – произвольная константа. Произвольные константы часто исключают из рассмотрения, вводя нормализованные векторы. В данном примере нормализованными векторами являются и .

Свойства характеристических корней

1. Сумма характеристических корней равна следу матрицы:

2. .

3. Произведение характеристических корней равно определителю матрицы: .

4. Число ненулевых характеристических корней матрицы совпадает с рангом этой матрицы.

5. Характеристическими корнями диагональной матрицы являются элементы ее главной диагонали.

6. Для симметрических матриц все n собственных значений являются вещественными числами.

Согласно теореме Гамильтона-Кэли, матрица А является корнем своего характеристического уравнения:

Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть характеристическим уравнением матрицы А является уравнение

.

Тогда справедливо матричное уравнение

.

В некоторых случаях интерес представляет задача отыскания собственных векторов, принадлежащих собственному значению . Достаточные условия существования такого собственного вектора вытекает из следующей теоремы.

Теорема о единичном собственном значении. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному числу 1.

Во многих связанных с отысканием собственных векторов прикладных задачах экономики содержательный смысл имеют только собственные вектора с положительными компонентами. Условия существования таких векторов даются теоремой Фробениуса-Перрона.

Теорема Фробениуса-Перрона. Пусть А – неотрицательная квадратная матрица. Тогда:

1. Максимальное по модулю собственное значение матрицы А неотрицательно. Среди собственных векторов, принадлежащих имеется неотрицательный вектор.

2. В случае все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению . Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора и отличаются лишь числовым множителем, то есть, .