6.2. Задачи
Найти фундаментальную систему решений и построить общее решение систем уравнений.
1.
2.
3.
4.
5.
7. Неоднородные системы
7.1. Общее решение неоднородной системы
Рассмотрим
неоднородную линейную систему
.
Соответствующая ей однородная система
называется приведенной
системой уравнений.
Решения неоднородной и приведенной систем связаны следующим образом. Сумма любого решения неоднородной системы и любого решения приведенной системы является решением неоднородной системы. Разность двух произвольных решений неоднородной системы есть решение приведенной системы. Поэтому общее решение неоднородной системы можно получить, прибавляя к любому ее частному решению общее решение приведенной системы
.
Пример 1. Найти общее решение системы уравнений
Выделим базисную систему уравнений, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
.
Так как
,
то система совместна. Базисная система
уравнений
.
Найдем теперь
частное решение неоднородной системы.
Примем
за главное, а
за свободные неизвестные. Положим
.
Тогда частное решение
.
Соответствующая приведенная система имеет вид
.
Для нахождения фундаментальной системы решений зададим значения свободных неизвестных
Тогда фундаментальные решения приведенной системы
.
Откуда общее решение неоднородной системы
.
Пример 2. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра :
Исследование
начинаем с проверки системы на
совместность. Так как система является
квадратной, то по теореме Крамера при
она совместна и имеет единственное
решение. Для значений
,
при которых
необходимы дополнительные исследования.
Вычислим
.
Если
,
то
и решение системы находим по формулам
Крамера
.
Пусть
.
Тогда расширенная матрица системы
.
Очевидно, что и система совместна. Базисная система уравнений
.
Решая эту систему так же как в примере 1, получим общее решение
,
где
произвольные постоянные.
Пусть
.
Преобразуем расширенную матрицу системы
к ступенчатому виду
.
По виду первой строки ступенчатой матрицы определяем, что система несовместна.
7.2. Задачи
Исследовать системы уравнений и найти общее решение в зависимости от значений входящих в коэффициенты параметров:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. Система
имеет единственное
решение. Доказать, что
b
и найти решение системы.
Литература
1. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: «Наука», 1974. — 400 с.
2. Ефимов Н. В., Розендрон Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: «Наука», 1974. — 250 с.
3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: «Наука», 1970. — 355 с.