2.5. Задачи
1. Определить число инверсий в перестановках:
а) 1,9.6,3.2.4.7.8.
б)
.
в)
.
2. Выбрать значения
и
так, чтобы произведение
входило в определитель 7-го порядка со
знаком плюс.
3. С каким знаком входит в определитель порядка произведение элементов побочной диагонали?
4. Найти члены определителя
,
содержащие
и
.
5. Пользуясь только определением, вычислить определитель
.
6. Пользуясь только свойствами определителей вычислить следующие определители:
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
д)
,
где
.
7. Не вычисляя определителей, доказать следующие тождества:
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
8. Пользуясь свойствами определителей, включая разложение по строке или столбцу, доказать тождество:
.
9. Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель
.
Вычислить определители:
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
В следующих задачах, где по виду определителя нельзя установить его порядок, предполагается, что он равен .
Вычислить следующие определители, приводя их к треугольному виду.
17.
.
18.
.
19.
20.
.
Вычислить следующие определители методом рекуррентных соотношений.
21.
22.
.
23.
.
24.
.
Пользуясь теоремой Лапласа вычислить следующие определители.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
Вычислить определители:
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37. Порядок следующего
определителя равен
:
.
38.
.
39.
.
40.
.
41.
.
42.
.
3. Обратная матрица
Квадратная матрица
называется обратной
по отношению к квадратной матрице
того же порядка, если
.
Необходимым и
достаточным условием существования
обратной матрицы является невырожденность
матрицы
т.е.
.
В этом случае обратная матрица существует, является единственной и определяется соотношением
,
где
алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
Обратная матрица обладает следующими свойствами:
1.
.
2.
.
3.
.
Полезно помнить, что если матрица является треугольной, то является треугольной того же типа, что и матрица . Обратная к симметричной матрице тоже симметрична.
Пример. Найти матрицу обратную к матрице
.
Определитель
и, следовательно, обратная матрица
существует. Алгебраические дополнения
элементов матрицы
равны
Поэтому
.
3.1. Задачи
Найти матрицы обратные к данным.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7. Решить матричные уравнения:
а)
.
б)
.
8. Показать, что вычисление матрицы, обратной к данной матрице порядка , можно свести к решению систем линейных уравнений, каждая из которых содержит уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу .
9. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :
а) переставить ю и ю строки?
б)
ю
строку умножить на число
?
в) к й строке прибавить ю, умноженную на число , или совершить аналогичное преобразование столбцов?