Относительные показатели

Различают следующие относительные показатели вариации:

1) коэффициент осцилляции

;

2) относительное линейное отклонение

;

3) коэффициент вариации

;

4) относительное квартильное отклонение

.

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности.

Показатели асимметрии и эксцесса

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель A_S:

,

где - средняя арифметическая ряда распределения,

M_O – мода,

 - среднее квадратическое отклонение.

При нормальном распределении , следовательно, коэффициент асимметрии равен 0. Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии (правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая, рис.1). При левосторонней асимметрии - наоборот (рис.2) (в этом случае показатель асимметрии имеет отрицательный знак).

Коэффициент асимметрии может изменяться от –3 до +3.

В практических расчетах часто в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента 3-го порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е.

.

Это дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить наличие асимметрии в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 - незначительная.

Для распределений может быть также рассчитан показатель эксцесса (островершинности):

.

Рис. 1. Правосторонняя асимметрия

Рис. 2. Левосторонняя асимметрия

Ниже представлены на рис.3 два распределения: одно – островершинное (величина эксцесса положительная), второе – плосковершинное (величина эксцесса отрицательная).

X Рис. 3. Островершинное и плосковершинное распределения х

Ряды распределения с положительным (1) и отрицательным (2) эксцессом

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении и показатель эксцесса равен 0.

f

f

x

Показатели вариаций для сгруппированных данных

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.

Если рассчитать дисперсию признака по всей изучаемой совокупности, т.е. общую дисперсию, то полученный показатель будет характеризовать вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности. Если же поставить дальнейшую задачу – выделить в составе общей дисперсии ту ее часть, которая обусловлена влиянием какого-либо определенного фактора, то следует разбить изучаемую совокупность на группы, положив в основу группировки интересующий нас фактор. Затем нужно изучить раздельно вариацию признака внутри однородных в отношении данного фактора групп и изменения в величине признака от группы к группе. Выполнение такой группировки позволяет разложить общую дисперсию признака на две дисперсии, одна из которых будет характеризовать часть вариации, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, а вторая – вариацию, происходящую под влиянием прочих факторов (кроме фактора, положенного в основу группировки).

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака – фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

,

где k – число групп; m _j – число единиц в j – й группе; - частная средняя по j – й группе; - общая средняя по совокупности единиц.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящей под влиянием неучтенных факторов и не зависящей от признака – фактора, положенного в основание группировки: .

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

.

Следовательно, зная любые 2 вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета 3-го вида.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением, обозначается и .

Иногда используется коэффициент детерминации:

.

Если результативный и факторный признаки не связаны, то 0 и  ²0 , в противном случае 1 и ²1.