Взвешенные средние величины

а) Средняя взвешенная степенная

= (( ^z *f)/ ( ))^1/z ,

где x - варианта (для интервального ряда берется середина интервала), f - частота повторения данного варианта.

б) Средняя взвешенная гармоническая

/ .

в) Средняя взвешенная геометрическая

^f .

г) Средняя взвешенная квадратическая

²*f)/ ) .

д) Средняя взвешенная арифметическая

_i*f_i )/ i ,

где x - вариации повторения признака, f - частота повторения данного варианта.

Правила выбора средней

1. Средняя арифметическая используется, если известны численные значения знаменателя формулы, а значения числителя могут быть получены произведением.

2. Средняя гармоническая используется, если известны численные значения числителя формулы, а значения знаменателя могут быть получены как частные от деления показателя.

3. Средняя геометрическая применяется, если надо найти значение признака, качественно равноудаленного от максимального и минимального значений, в том числе темпы роста.

4. Средняя квадратическая применяется для измерения вариации признаков совокупности, что обусловлено 5-м свойством средней арифметической.

5. Средняя хронологическая используется, если данные представлены не за какой-либо период, а по состоянию на дату.

Структурные характеристики вариационного ряда распределения

Мода (Мо) - представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медиана (Ме) - значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. Главное свойство медианы: сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины: |x_i-Me|=min.

Определение моды и медианы по не сгруппированным данным: если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений. Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана выполняет функцию средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальному закону распределения совокупности.

Определение моды и медианы по несгруппированным данным: сначала находят номер медианной единицы ряда N_Me=(n+1)/2, где n - объем совокупности.

Mo=x₀+h_*(fMo-f Mo -1)/(( fMo-fMo-1)+( fMo-fMo+1)) ,

где x₀ - нижняя граница модального интервала;

h - величина модального интервала;

fMo - частота модального интервала;

f Mo -1 - частота предшествующего модальному интервалу;

fMo+1 - частота следующего за модальным интервалом.

Модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту.

Медиана вычисляется по формуле:

Me = x₀ + h*0,5( _Me – 2*S)/f_Me ,

где x - нижняя граница медианного интервала;

h - величина медианного интервала;

S - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Me - частота медианного интервала.

Медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот.

Модой является значение варианты, имеющей наибольшую частоту повторения.

Медиана - это значение первой варианты, накопленная частота которой превышает половину всех накопленных частот.

Квантили. Квантиль - значение признака, который делит ряд на равные части. Математическое определение: квантиль - значение x_q случайной величины X , удовлетворяющее условию F(x_q) = q F(x) = p(X < x).

В зависимости от q квантили делятся на :

• медиана - величина варьирующего признака, делящего совокупность на 2 равные части (q=0,5);

• квартиль (q=0,25) - делит ряд по сумме частот на 4 равные части (второй квартиль равен медиане, а первый - Q1 и третий - Q3 исчисляются аналогично расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для Q1 интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 численности частот, а для Q3 - варианта, отсекающая 3/4 численности частот);

• квинтель (q=0,2), т.е делит ряд на 8 равных частей;

• дециль (q=0,1), т.е. делит ряд на 10 равных частей;

• процентиль (q=0,01) , т.е. делит ряд на 100 равных частей.

Общая формула квантиля:

,

где i – номер квантиля,

h – величина интервала,

X_Qi - нижняя граница интервала,

- накопленная частота интервала, предшествующего квантильному интервалу,

- частота квантильного интервала.

Например, квантили используются для расчета показателей дифференциации доходов населения, по данным выборочных опросов получают интервальный ряд распределения населения по среднему душевому доходу. Частость - процент населения, попадающий в интервал.