Фрумкин д.А.
XV
A) Постройте фазовый портрет колебаний механической системы, описываемый уравнением
Указание:
ввести замену переменных вида
,
записать уравнение в новых переменных,
разделить переменные в уравнении,
интегрируя это уравнение получить
первый интеграл. Далее, вводите функцию
так, чтобы записать первый интеграл в
виде
,
строите фазовый портрет в координатах
х,
у.
Укажите характерные элементы фазового
портрета: положение равновесия
,
типичные траектории, сепаратрису. Для
случая
получите зависимость
периода колебаний от начальной амплитуды
в виде квадратуры, постройте график
этой зависимости с помощью MAPLE,
объясните поведение графика функции
.
Б)
Построить периодическое решение
дифференциального уравнения методом
Линштедта в окрестности устойчивого
частного решения
для случая
.
Для этого следует:
1. Разложить нелинейную функцию исследуемого уравнения в ряд по возмущениям в окрестности точки покоя и удержать члены до третьего порядка включительно. Ввести в уравнение колебаний малый параметр , используя замену переменных , и новое время по формуле , где
- искомая частота колебаний. Получить в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка 3. После этого следует вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде .
2. С помощью MAPLE постройте две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие аналитическому (приближенному) решению и строгому решению задачи Коши (полученному на основе численного счета). Рассмотрите два интервала изменения времени t: . Численные значения параметров и начальных условий таковы:
|
|
|