
Морозов и.А.
X.
А) Построить фазовый портрет колебаний механической системы, описываемый уравнением
для
случаев
.
Укажите характерные элементы фазового
портрета: положение равновесия
,
типичные траектории, сепаратрису. Для
колебаний в окрестности устойчивого
равновесия, отличного от нулевого,
получите, полагая
,
зависимость
периода колебаний от начальной амплитуды
в виде квадратуры, постройте график
этой зависимости с помощью MAPLE,
объясните поведение графика функции
.
Б) Найдите периодическое решение дифференциального уравнения методом Линштедта в окрестности устойчивого частного решения (случай )
1. Разложите нелинейную функцию исследуемого уравнения в ряд по возмущениям в окрестности точки покоя и удержите члены до третьего порядка включительно. Введите в уравнения движений малый параметр , используя замену переменных , и новое время по формуле , где
- искомая частота колебаний. Получите в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка 3. После этого следует вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде .
2. С помощью MAPLE постройте две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие аналитическому (приближенному) решению и строгому решению задачи Коши (полученному на основе численного счета). Рассмотрите два интервала изменения времени t : . Численные значения параметров и начальных условий таковы:
|
|
|
Овсянникова е.И.
XI.
A) Построить фазовый портрет колебаний механической системы, описываемый уравнением
для
случаев
.
Укажите характерные элементы фазового
портрета: положение равновесия
,
типичные траектории, сепаратрису. Для
случая
получите зависимость
периода колебаний от начальной амплитуды
в виде квадратуры, постройте график
этой зависимости с помощью MAPLE,
объясните поведение графика функции
.
Б)
Найдите периодическое решение
дифференциального уравнения методом
Линштедта в окрестности устойчивого
частного решения
для случая
.
Для этого необходимо:
1.
Разложить нелинейную функцию исследуемого
уравнения в ряд по возмущениям
в окрестности точки покоя
и удержать члены до третьего порядка
включительно. Ввести в уравнения движений
малый параметр
,
используя замену переменных
,
и новое время
по формуле
,
где
- искомая частота колебаний. Получить в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка 3. После этого следует вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде .
2. С помощью MAPLE построить две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие аналитическому (приближенному) решению и строгому решению задачи Коши (полученному на основе численного счета). Рассмотрите два интервала изменения времени t: . Численные значения параметров и начальных условий таковы: ,
|
|
|