Дорофиенко д.Н.

VI

А) Построить фазовый портрет колебаний механической системы, описываемый уравнением

при и в случае . Укажите характерные элементы фазового портрета: положение равновесия , типичные траектории, сепаратрису, запишите уравнение сепаратрисы Для случая получите зависимость периода колебаний от начальной амплитуды в виде квадратуры, постройте график этой зависимости с помощью MAPLЕ и объясните поведение графика функции .

Б) Найти периодическое решение дифференциального уравнения методом Линштедта в окрестности устойчивого частного решения при . Для этого следует:

1. Разложить правую часть исследуемого уравнения в ряд по возмущениям в окрестности точки покоя и удержать члены до третьего порядка включительно. Ввести в уравнения движений малый параметр , используя замену переменных , и новое время по формуле , где

- искомая частота колебаний. Получить в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка ³. После этого вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде .

2. С помощью MAPLE построить две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие найденным аналитическим (приближенным) решениям и строгим решениям задачи Коши (полученным на основе численного счета). Рассмотреть два интервала изменения t : . Численные значения параметров и начальных условий таковы: ,

Ковалев н.В.

VIII

А) Постройте фазовый портрет колебаний механической системы, описываемый уравнением

для случаев . Укажите характерные элементы фазового портрета: положение равновесия , типичные траектории, сепаратрису. Для случая получите зависимость периода колебаний от начальной амплитуды в виде квадратуры, постройте график этой зависимости с помощью MAPLE, объясните поведение графика функции .

Б) Найдите периодическое решение дифференциального уравнения методом Линштедта в окрестности устойчивого частного решения при . Для этого следует:

1. Разложить нелинейную функцию исследуемого уравнения в ряд по возмущениям в окрестности точки покоя и удержать члены до третьего порядка включительно. Ввести в уравнение движений малый параметр , используя замену переменных , и новое время по формуле , где

- искомая частота колебаний. Получить в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка ³. После этого вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде .

2. С помощью MAPLE построить две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие аналитическому (приближенному) решению и строгому решению задачи Коши (полученному на основе численного счета). Рассмотрите два интервала изменения времени t : . Численные значения параметров и начальных условий таковы:

Лунькова А.С.

IX.

А) Молекула может совершать колебательные движения в поле, заданном потенциалом Леннарда-Джонса

,

где - полярный радиус. Параметры a и считайте известными. Получите дифференциальное уравнение колебаний молекулы. Постройте фазовый портрет системы для двух случаев: . Укажите характерные элементы фазового портрета: положение равновесия , типичные траектории, сепаратрису. Напишите уравнение сепаратрисы в явной форме. Для случая получите зависимость периода колебаний от начальной амплитуды в виде квадратуры, постройте график этой зависимости с помощью MAPLE, объясните поведение графика функции .

Б). Найдите периодическое решение дифференциального уравнения методом Линштедта в окрестности устойчивого частного решения при . Для этого следует:

1. Разложить нелинейную часть исследуемого уравнения в ряд по возмущениям в окрестности точки покоя и удержать члены до третьего порядка включительно. Ввести в уравнение движений малый параметр , используя замену переменных , и новое время по формуле , где

Получить в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка ³. После этого следует вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде ..

2. С помощью MAPLE построить две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие аналитическому (приближенному) решению и строгому решению задачи Коши (полученному на основе численного счета). Рассмотрите два интервала изменения времени t : . Численные значения параметров и начальных условий таковы: