Глебов и.А.

III.

А) Шарик массы m подвешен в поле тяжести на пружине, зависимость упругой силы которой от деформации имеет вид , где k и c — положительные коэффициенты. Получите уравнение, описывающее колебания шарика около положения равновесия, полагая величиной отклонения шарика от положения равновесия ( , - деформация в положении равновесия), и покажите, что оно содержит как кубическую, так и квадратичную нелинейности. Постройте фазовый портрет колебаний, укажите характерные элементы фазового портрета: положение равновесия , типичные траектории, сепаратрису. В чем его отличие от фазового портрета соответствующей линейной системы? Укажите область на фазовой плоскости, в пределах которой систему можно считать линейной.

Б) Найти периодическое решение дифференциального уравнения методом Линштедта в окрестности устойчивого частного решения при k=0.1, c=0.5. Для этого следует:

1. Разложить нелинейную функцию исследуемого уравнения в ряд по возмущениям в окрестности точки покоя и удержать члены до третьего порядка включительно. Ввести в уравнения движений малый параметр , используя замену переменных , и новое время по формуле , где

Получить в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка ³. После этого вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде .

2. С помощью MAPLE построить две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие аналитическому (приближенному) решению и строгому решению задачи Коши (полученному на основе численного счета). Рассмотреть два интервала изменения времени t: . Численные значения параметров и начальных условий таковы: k=0.1, c=0.5

Гутник а.С.

V.

А) Получите уравнение колебаний частицы массы в потенциальной яме вида . Укажите характерные элементы фазового портрета: положение равновесия , типичные траектории, сепаратрису. Для случая получите зависимость периода колебаний от начальной амплитуды в виде квадратуры, постройте график этой зависимости с помощью MAPLE.

Напишите уравнение сепаратрисы в явном виде. Объясните эффект уменьшения периода колебаний с ростом амплитуды.

Б) Найдите периодическое решение дифференциального уравнения методом Линштедта в окрестности устойчивого частного решения при . Для этого следует:

1. Разложить нелинейную функцию, входящую в уравнение, в ряд по возмущениям в окрестности точки покоя и удержать члены до третьего порядка включительно. Ввести в уравнение движений малый параметр , используя замену переменных , и новое время по формуле , где

- искомая частота колебаний. Получить в явном виде периодическое решение задачи Коши для преобразованного дифференциального уравнения с точностью до членов порядка ³. После этого вернуться к старым переменным и получить приближенное выражение периодических колебаний в виде .

2. С помощью MAPLE построить две сравнительные фазовые кривые на плоскости переменных , соответствующие аналитическому (приближенному) решению и строгому решению задачи Коши (полученному на основе численного счета). Рассмотреть два интервала изменения времени t : . Численные значения параметров и начальных условий таковы: