§6. Отражение звука от слоя
Рассмотрим задачу об отражении плоской волны от однородного слоя толщиной h, падающей под горизонтальным углом i на верхнюю и нижнюю границу слоя (рис. 61). Будем полагать, что среды 1 и 3, разделяемые слоем h, также являются однородными, т.е. распределение скорости и плотности в них по z и по x постоянны. Решение задачи впервые было изложено в работе Л. М. Бреховских (1957). Им мы и воспользуемся.
Рис. 61. Отражение
звука от тонкого слоя
При прохождении волны через слой происходит интерференция (сложение) колебаний от верхней и нижней границ слоя. Поэтому для результирующего акустического поля в слое h можно написать следующее выражение:
.
(VIII.68)
Ранее было показано, что отношение акустического давления к колебательной скорости при нормальном падении плоской волны на границу раздела двух сред характеризует волновое сопротивление (импеданс) среды (c). При произвольном падении
.
(VIII.69)
Здесь мы обозначим акустический импеданс буквой , чтобы не путать с координатой z.
При смене направления распространения волны cos меняет знак и
.
(VIII.70)
В соответствии с этим будем считать, что среды 1, 2, 3 (рис. 61) характеризуются импедансом:
,
где j=1, 2, 3... (VIII.71)
Найдем акустическое давление и колебательную скорость, создаваемые результирующим полем U2 в слое h (Бреховских, 1957):
(VIII.72)
В
соответствии с формулой (VIII.69) отношение
на
границе z=0
должно равняться импедансу среды 1, т.е.
,
(VIII.73)
откуда
,
или
.
(VIII.74)
На верхней границе слоя, т.е. при z = h, из выражений (VIII.72) имеем:
,
(VIII.75)
Подставляя
в (VIII.75) значение
из
(VIII.74) после простых преобразований с
учетом формулы Эйлера:
,
(VIII.76)
получим:
.
(VIII.77)
Здесь через вх мы обозначим входной импеданс на верхней границе слоя. Теперь найдем звуковое поле в среде 3. Соответствующие выражения для давления и колебательной скорости имеют вид:
(VIII.78)
При
z=h
отношение
должно
быть равно входному импедансу слоя 3,
т.е.
.
(VIII.79)
Следовательно, коэффициент отражения на верхней границе будет равен:
.
(VIII.80)
Подставляя сюда выражение (VIII.77), для вх получим:
.
(VIII.81)
Это и есть выражение для коэффициента отражения от слоя толщиной h.
Определим теперь амплитуду прошедшей через слой h волны. Поле этой волны в среде 1 будет:
.
(VIII.82)
Согласно условиям непрерывности смещений, давлений и скорости на границе раздела z=0, смещение U1 должно быть равно смещению U2, определенному выражением (VIII.68):
.
(VIII.83)
Полагая
z=0
и учитывая закон Снеллиуса
,
получаем:
.
(VIII.84)
Аналогично из условий непрерывности U на границе z=h, согласно выражениям (VIII.68) и (VIII.78), получаем:
или,
с учетом
,
.
(VIII.85)
Разделим
(VIII.84) на (VIII.85) и в полученное выражение
подставим значения
R12
и
:
.
(VIII.86)
Полученная формула характеризует коэффициент прозрачности слоя.
Проанализируем теперь полученные выражения для R32 и W. Если слой имеет нулевую мощность (h = 0), то формулы (VIII.81) и (VIII.86) переходят в обычные выражения для коэффициента отражения и преломления от границы полупространства:
;
(VIII.87)
.
(VIII.88)
Полагая
(VIII.89)
и подставляя их в формулы (VIII.81) и (VIII.86), получим обобщенные выражения для коэффициента отражения и прозрачности слоя h:
,
(VIII.90)
.
(VIII.91)
Если
волна падает вертикально на поверхность
слоя, что соответствует случаю глубокого
моря, то, полагая в формуле (VIII.81) cos2
= 1 и заменив
экспоненциальные множители согласно
формуле Эйлера
,
после простых преобразований получим:
.
(VIII.92)
Разделив
R на действительные и мнимые члены,
получим для квадратного модуля
,
где a=Re(R),
b=Im(R);
окончательно получим выражение для
коэффициента отражения от слоя при
нормальном падении волны:
.
(VIII.93)
Наличие
в выражении для
функции
sin2k2h
свидетельствует, что модуль коэффициента
отражения от слоя есть периодическая
функция. Максимумы и минимумы осцилляции
легко
находятся обычным путем:
,
(VIII.94)
что
имеет место при sin2k2h=0,
т.е. если k2h=n,
откуда
;
(n=0,1,2...);
,
(VIII.95)
что
имеет место при sin2k2h=1,
т.е. если
,
откуда
.
Таким образом, если 3
< 2
< 1,
то R23R12
> 0 и
коэффициент отражения имеет максимум
при отражении от слоя, толщина которого
h
кратна целому числу полуволн, и минимум,
если толщина слоя кратна нечетному
числу четверти длины волны. В первом
случае
; (VIII.96)
во втором
.
(VIII.97)
Из последнего выражения видно, что если R23=R12, то отражение от слоя будет отсутствовать совсем. Подставляя в это равенство выражение для импедансов сред:
,
получим
.
(VIII.98)
Таким образом, если между двумя любыми средами поместить четвертьволновой слой с импедансом, равным среднему геометрическому импедансу этих сред, то отражение от слоя будет отсутствовать совсем.
Можно показать, что коэффициент отражения от слоя с поглощением представляет собой по-прежнему осциллирующую функцию. Однако размах осцилляции уменьшается с увеличением мощности слоя h, и при больших h величина становится постоянной величиной, равной модулю коэффициента отражения от верхней границы слоя. Это значит, что в толстом слое с поглощением волны затухают, не доходя до нижней границы слоя и, следовательно, не образуют интерференцию с отраженной от этой границы волной.
Период осцилляции тот же, что и в слое без поглощения, с той лишь разницей, что амплитуда осцилляции затухает с увеличением мощности слоя. Следует отметить, что аналогичный эффект поглощения в слое обеспечивается умножением модуля R на экспоненту, учитывающую фактор поглощения :
.
(VIII.99)
Исследование поведения коэффициентов отражения в функции h или частоты в слоях позволяет определить важнейшие характеристики среды – такие, как скорость звука и поглощение в глубоководных осадочных слоях, что было найдено нами (Орлёнок, 1977; см. §7).