- •Линейная алгебра Системы линейных уравнений
- •Векторная алгебра Основные понятия
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Направляющие косинусы вектора
- •Векторное произведение двух векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Векторное произведение ортов
- •Векторное произведение двух векторов , заданных своими координатами
Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением двух векторов и называется вектор такой , что
а) , где - угол между векторами ;
б) перпендикулярен плоскости, образованной векторами и , и направлен так, что, находясь на конце вектора , можно наблюдать перемещение вектора к вектору против часовой стрелки (рис. 4).
Рис. 4
Замечание. Длина вектора численно равна площади параллелограмма , построенного на векторах и как на сторонах .
Свойства векторного произведения
Векторное произведение равно нулю , если хотя бы один из векторов
нулевой или векторы и - коллинеарные .
.
.
Векторное произведение ортов
Исходя из определения векторного произведения, получим следующие равенства:
Z
,
, Y
Рис. 5
Векторное произведение двух векторов , заданных своими координатами
Пусть даны векторы и .
Тогда их векторное произведение вычисляется по формуле
.
1. Найти векторное произведение двух векторов
2. Найти площадь треугольника , заданного координатами своих вершин,
Найдем векторы и . .
. .
3. Пусть даны векторы и , известно , что и угол между векторами и равен .
Найти длину их векторного произведения
.
.
Упростить выражение
= =
Доказать тождество
= = = + = .
Cмешанное произведение трех векторов
Определение. Смешанным произведением трех векторов называется выражение вида .
Пусть даны три вектора , , , тогда
= .
Геометрический смысл смешанного произведения
Смешанное произведение трех векторов численно равно по абсолютной величине объему параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах .
Если три вектора , , лежат в одной плоскости, то их смешанное произведение равно нулю , т.е.
= 0 , что и будет условием компланарности трех векторов .
Примеры
1. Найти смешанное произведение трех векторов
.
2. Вычислить объем пирамиды с вершинами : .
Найдем векторы
Вычислим их смешанное произведение , что численно равно объему параллелепипеда ,построенного на этих векторах как на сторонах . А объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда , таким образом .
3.Установить, лежат ли четыре точки в одной плоскости.
Найдем три вектора
Вычислим их смешанное произведение , т.е. данные векторы компланарны и, следовательно, четыре точки лежат в одной плоскости.