Глава 2. Повторные независимые испытания
2.1. Схема Бернулли
В приложениях теории вероятностей часто встречается некоторая стандартная схема, называемая схемой независимых испытаний или схемой Бернулли. Имеет место теорема.
Теорема. Если
вероятность
наступления событии А в каждом испытании
постоянна, то вероятность
того, что событие А наступит т раз в
независимых испытания, равна
, (19)
или
(19*)
где
Вероятность того,
что событие наступит: а) менее
раз; б) более
раз; в) не менее
раз; г) не более
раз – находят соответственно по формулам:
а)
б)
в)
г)
(20)
Опр.
Число
,
которому при заданном
соответствует максимальная биномиальная
вероятность
,
называется наивероятнейшим.
Для нахождения наивероятнейшего числа по заданным и р можно воспользоваться неравенствами
, (21)
причем:
а) если число
- дробное, то существует одно наивероятнейшее
число
;
б) если число
- целое, то существует два наивероятнейших
числа:
и
;
в) если число
- целое, то наивероятнейшее число
*Пусть производится
независимых опытов, каждый из которых
имеет т
попарно несовместных и единственно
возможных сходов
с вероятностями
,
одинаковыми во всех опытах (
).
Для произвольных целых неотрицательных
чисел 
обозначим через 
вероятность того, что в
опытах исход
наступит
раз, исход
наступит
раз и т.д., исход
наступит
раз. Тогда справедлива формула
,
(22)
которая является
обобщением формулы Бернулли на случай,
когда каждый из независимых опытов
имеет т
исходов
.
Пример 10. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение.
Так как играют
равносильные шахматисты, то вероятность
выигрыша
,
следовательно, вероятность проигрыша
Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны. Воспользуемся формулой 19*:
Найдем вероятность того, что три партии из шести будут выиграны:
Так как
,
то вероятнее выиграть две партии из
четырех, чем три из шести.
Ответ: вероятнее выиграть две партии из четырех. [2, с.46-47]
Пример 11. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найдите наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.
Решение.
По условию
,
,
.
Воспользуемся неравенством 21:
.
Подставляя данные задачи, получим
или
Так как
- целое число, то наивероятнейших чисел
два:
и
.
Ответ: 14; 15. [2, с.58-59]
2.2. Формула Пуассона
Но в жизни встречаются
задачи, когда
и
- велики, а
-
мало. Например,
Ясно, что в этом случае воспользоваться
формулой Бернулли технически очень
сложно. Возникает необходимость в
желании иметь более простые приближенные
формулы для вычисления вероятности при
больших
.
Такие формулы,
называемые асимптотическими, существуют
и определяются теоремой Пуассона,
локальной и интегральной теоремами
Муавра-Лапласа. Наиболее простоя из
них является теорема Пуассона.
При больших и малых имеет место теорема.
Теорема. Если
вероятность
наступления события
в каждом испытании стремится к нулю
при
неограниченном увеличении числа
испытаний
,
причем произведение
стремиться
к постоянному числу
то
вероятность
того, что событие
появится т раз в
независимых испытаниях, удовлетворяет
предельному равенству
Итак, если вероятность
– постоянна
и мала, число испытаний
–
велико и число
- незначительно (
).
То из предельного равенства вытекает
приближенная
формула Пуассона:
(23)
Функция Пуассона
табулирована (см. таблице 3 приложений
[4, с.556] ), но можно воспользоваться и
значениями:
….
Пример 12. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?
Решение.
Из условия задачи
следует, что
,
,
.
Найдем
,
т. е. условие
- выполняется, можно воспользоваться
формулой 23 и таблицей 3 «Значения функции
Пуассона»:
.
Ответ: 0,1755. [4, с.72-73]