29

«Элементы теории вероятностей»

Ст. преп. Самсонова Л.Н.

Бийск 2011

Содержание

Введение………………………………………………….......................................3

Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей………………….5

1.1. Основные понятия ……………………………………………………..5

1.2. Классическое определение вероятности…………………………...…7

1.3. Относительная частота. Статистическое определение вероятности………………………………………………………………………………...10

1.4. Геометрическое определение вероятности………………………….12

1.5. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события……………………………..14

1.6. Вероятность появления хотя бы одного события …………………..19

1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса…………………….20

Глава 2. Повторные независимые испытания………………………………….22

2.1. Схема Бернулли……………………………………………………………..22

2.2. Формула Пуассона…………………………………………………………..24

2.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа…………………..26

Список литературы………………………………………………………………29

Введение

Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы.

Ранее закономерности мы описывали с помощью функции. Функциональная связь между переменными являлась «жёсткой»: значение одной из них вполне определялось значением другой. Однако часто приходится изучать явления, для которых практически трудно или принципиально невозможно отыскать все причины, порождающие их, и тем более, количественно их выразить. Такие явления невозможно описать функционально.

Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадёт; для этого необходимо было бы учесть слишком много различных факторов: работу мышц руки, участвующей в бросании, малейшие отклонения в распределении массы монеты, движение воздуха и т.д. Результат бросания монеты случаен. Но, оказывается, при достаточно большом числе бросаний монеты существует определённая закономерность (герб и цифра выпадают приблизительно поровну).

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Под случайными явлениями понимаются явления с неопределённым исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определённого комплекса условий.

Очевидно, что в природе, технике и экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности. Существуют два подхода к изучению этих явлений. Один из них – классический, или «детерминистский», состоит в том, что выделяются основные факторы, определяющие данное явление, а влиянием множества остальных, второстепенных факторов, приводящих к случайным отклонениям его результата, пренебрегают. Таким образом, выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению, позволяющая однозначно предсказать результат по данным условиям. Этот подход часто используется в естественных («точных») науках.

При исследовании многих явлений и, прежде всего, социально-экономических, такой подход неприемлем. В этих явлениях необходимо учитывать не только основные факторы, но и множество второстепенных, приводящих к случайным возмущениям и искажениям результата, т.е. вносящих в него элемент неопределённости. Поэтому другой подход к изучению явлений состоит в том, что элемент неопределённости, свойственный случайным явлениям и обусловленный второстепенными факторами, требует специальных методов их изучения. Разработкой таких методов, изучением специфических закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях, и занимается теория вероятностей.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XVI-XVII вв. Они принадлежали Д. Кардано, Б. Паскалю, П. Ферма, Х. Гюйгенсу и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Я. Бернулли (XVII – начало XVIII в.), который доказал теорему, теоретически обосновавшую накопленные ранее факты и названную в дальнейшем «законом больших чисел».

Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на XVII-XIX вв. благодаря работам А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона и др. Весьма плодотворный период развития «математики случайного» связан с именами русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова (XIX-начало ХХ в.).

Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей и математической статистики внесли российские математики: С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Ю.В. Линник, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов, Ю.В. Прохоров и др., а также учёные англо-американской школы Стьюдент (псевдоним В. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон, Е. Нейман, А. Вальд и др. Особо следует отметить неоценимый вклад академика А.Н. Колмогорова в становлении теории вероятностей как математической науки. [4, с.12-14]