2. Теплопроводность через плоскую стенку

Изменение температурного поля в неподвижной сплошной среде может быть описано с помощью дифференциального уравнения, полученного из уравнения энергии:

, (1.5)

где - коэффициент температуропроводности.

Рассмотрим процесс теплопроводности через плоскую стенку. На рисунке 1.1 показано сечение плоской стенки и распределение температуры в ней.

П редположим, что длина стенки намного больше её толщины - . Тогда при постоянных значениях температуры поверхностей стенки, то есть при значениях и температурное поле в стенке будет одномерным. В этом случае температура в любой точке внутри стенки будет функцией только одной переменной - . Тогда производные по другим переменным будут равны нулю:

.

В этом случае уравнение (1.5) примет вид:

.

Проинтегрировав дважды это уравнение, получим:

. (1.6)

Видно, что температура в стенке (при ) изменяется линейно.

Две константы интегрирования в (1.6) определим, используя граничные условия первого рода:

(1.7)

Подставив во второе уравнение (1.6) значения (1.7), найдём:

.

Заменив во втором уравнении (1.6) константы интегрирования найденными их значениями, получим распределение температуры внутри плоской стенки:

. (1.8)

Плотность теплового потока найдём по формуле (1.1):

. (1.9)

Отношение называется тепловой проводимостью плоской стенки, а обратная ей величина - внутренним термическим сопротивлением плоской стенки.

2. Теплопроводность через плоскую многослойную стенку

Рассмотрим плоскую многослойную стенку, изображённую на рисунке 1.2. Она состоит из n слоёв различной толщины, имеющих разную теплопроводность.

Н а границе слоёв возникает контактное термическое сопротивление, обусловленное неплотным соприкосновением поверхностей. Тепловой поток через поверхность контакта определим по формуле:

, (1.10)

где - контактное термическое сопротивление; - температуры контактирующих поверхностей (см. рисунок 1.2).

Пусть каждый слой стенки имеет толщину и теплопроводность . При стационарном тепловом режиме тепловые потоки через каждый из слоёв, а также через зоны контактов будут одинаковы, так как только при этом условии температурное поле в пластине не изменяется с течением времени. Тепловые потоки через i –й слой и i –ю поверхность контакта определим по формулам (1.9) и (1.10):

.

Преобразуем их к виду:

.

Используя две последние формулы, определим разности температуры для всех n слоёв и поверхности контакта:

,

,

,

,

,

,

,

где .

После суммирования этих уравнений получим:

или

. (1.11)

Плотность теплового потока через плоскую многослойную стенку будет равна:

. (1.12)

Формула (1.11) позволяет найти значение температуры на отдельной поверхности контакта. Например, записав её для двух первых слоёв ( ), определим:

. (1.13)

Из приведённого рисунка видно, что наклон температурных линий в слоях стенки различный. Это объясняется тем, что для всех слоёв плотность теплового потока постоянна - . Поэтому слои с меньшими значениями теплопроводности имеют больший градиент температуры.

Следует также заметить, что при существенной зависимости теплопроводности материала от температуры температурное поле в слое стенки будет криволинейным.