Тензор скорости деформации
Скорость в точке x+dx, близкой к точке x:
Введём тензор скорости деформации и тензор скорости жёсткого поворота
С
антисимметричным тензором скорости
жёсткого поворота – тензором второго
ранга в трёхмерном пространстве – может
быть ассоциирован псевдовектор угловой
скорости
В
общем случае
но
при малых деформациях
Тогда
можно считать
Главные
оси тензоров
и
могут
не совпадать даже при малых деформациях.
Тензор приращения деформации
Перемещению
соответствует
приращение деформации
Для
больших деформаций приращение деформаций
должно вычисляться по отношению к
мгновенному состоянию, то есть в
лагранжевой системе координат. Очевидно,
и
только для малых деформаций
если
известен путь деформации (например
деформация задана как функция нагрузки)
то конечную деформацию можно вычислить
как интеграл
ДЕКАРТОВЫ КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА МАЛЫХДЕФОРМАЦИЙ
В прямоугольном декартовом представлении для малых деформаций можно выразить компоненты тензора деформаций в виде
Законы сохранения в сплошных средах
Каждая частица вещества обладает физическими свойствами, которые при переходе к модели сплошной среды должны быть перенесены на объёмное распределение этих свойств. Это же относится и к характеристикам взаимодействий частиц, таким, как энергия взаимодействий. Физические свойства, характеризуемые аддитивными величинами, такие как масса, электрический заряд, механический импульс, магнитный момент и т.п. должны быть заменены объёмными плотностями так, чтобы интегралы от них по объёму среды, заполненному одними и теми же физическими частицами вещества, совпадали с суммами соответствующих физических параметров этих частиц.
Это
значит, что плотность
тензорной
физической величины
характеризующей
каждую частицу вещества, находящуюся
в объёме
заполненной
этими частицами, и сумма значений этих
величин
связаны
в лагранжевых переменных соотношением
В лагранжевых координатах
Где
и
компоненты метрического тензора в точке
в момент t.
Теорема переноса
При
заданном поле смещений закон движения
сплошной среды в эйлеровых переменных
имеет вид
Элемент
объёма состоящего из одних и тех же
частиц среды, то есть одной и той же
области в лагранжевых координатах
преобразуется
при таком движении в эйлеровых переменных
в
якобиан
преобразования:
Значит можно выразить интеграл по некоторому меняющемуся объёму эйлерова пространства, занятого сплошной средой, через соответствующие частицам среды в этом объёме лагранжевы переменные (далее вместо Используем )
Его
производная по времени
При t=0 эйлеровы и лагранжевы координаты совпадали
и
то есть
например, для несжимаемой среды
так как по теореме Остроградского-Гаусса
Итак, скорость изменения интегрального значения некоторой физической величины, храктеризующей частицы сплошной среды в объёме эйлерового пространства складывается из частной производной от мгновенного интеграла плотности распределения этой величины по эйлеровому объёму и переноса этой величины с потоком сплошной среды через внешнюю границу объёма (Теорема ПЕРЕНОСА).