Оригинал и изображение. Прямое преобразование Лапласа

Пусть имеем функцию действительного переменного t

где М и с₀  постоянные положительные и действительные числа; с₀ называется показателем роста функции.

Известно, что если функция f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл

(7.3.1)

сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного s = с + j в полуплоскости Res = с > с₀.

Интегральное уравнение вида (7.3.1) представляет собой прямое преобразование Лапласа. Функция f(t) называется оригиналом, F(s)  изображением по Лапласу; s  оператором Лапласа. Символически интеграл (7.3.1) записывается в виде

F(s) ≓ f(t), F(s) = L[f(t)].

Последовательность расчета в операторном методе:

1) рассчитываются независимые начальные условия до коммутации;

2) записываются интегро-дифференциальные уравнения для цепи;

3) составляется изображение по Лапласу искомых функций времени для тех же уравнений с учетом независимых начальных условий;

4) осуществляется обратный переход от изображения к оригиналу, использованием обратного преобразования Лапласа.

Рассмотрим каждый из этапов в отдельности.

Изображения некоторых простейших функций

1. Единичная ступенчатая функция

.

Изображение единичной функции согласно (7.3.1)

Следовательно, 1(t )≓ .

Аналогично для постоянной А: А ≓ .

2. Изображение показательной функции f(t) = е^at

Воспользуемся преобразованием Лапласа, тогда

3. Изображение производной

Чтобы найти изображение первой производной подставим в выражение (7.3.1) производную функции f(t)

Интегрируем по частям, положив u = e^-st; . Согласно правилу интегрирования, , следовательно,

но

тогда ,

или ≓ .

Изображение второй производной

≓ .

4. Изображение напряжения на индуктивности

, но ≓ ,

тогда ≓ .

Если докоммутационный ток i(0) = 0, то

≓ .

5. Изображение интеграла

Пользуясь преобразованием Лапласа, найдем изображение функции .

.

Интегрируем по частям, полагая

Получим

То есть,

≓ .

6. Изображение напряжения на емкости

Полная форма записи:

где u_C(0)  напряжение, которое было на емкости до момента коммутации (до протекания тока i).

В соответствии с п. (1) и (5) изображение u_C примет вид

,

или

u_C(t) ≓ .

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

а) Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС

Рассмотрим участок сложной разветвленной цепи, содержащей ЭДС и R, L, C-элементы (рис.7.3.3). В схеме замыкается рубильник К, что приводит к переходному процессу в ветви аb.

До коммутации ток в ветви аb имел некоторое значение i = i(0), напряжение на конденсаторе u_C = u_C(0). Запишем разность потенциалов между точками а и b в послекоммутационном режиме:

, (7.3.2)

где

(7.3.3)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (7.3.2) при учете (7.3.3)

i ≓ I(s); u_ab ≓ U_ab(s); u_R ≓ RI(s).

≓ ; e(t) ≓ E(s); u_C ≓ . (7.3.4)

Подставляя выражения (7.3.4.) в (7.3.2), получим

(7.3.5)

Смысл преобразования заключается в том, что вместо дифференциального уравнения (7.3.2) получили алгебраическое уравнение (7.3.5).

Из уравнения (7.3.5) найдем I(s)

(7.3.6)

где  операторное сопротивление ветви аb (его структура аналогична структуре комплексного сопротивления того же участка по переменному току при замене j на s).

Уравнение (7.3.6) называется законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащей ЭДС, при ненулевых начальных условиях, где Li(0)  внутренняя ЭДС, обусловленная запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации;

u_c(0)  внутренняя ЭДС, за счет запаса электрической энергии конденсатором до коммутации.

При нулевых начальных условиях и отсутствии в ветви источников энергии выражение (7.3.6) приобретает более простой вид: .

б) Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Для мгновенных значений токов в узле а (рис. 7.3.4) имеет место соотношение

- i₁ – i₂ + i₃ = 0 .

В операторной форме:

.

В общем случае:

. (7.3.8)

в) Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Как и в случае мгновенных значений токов и напряжений, второй закон Кирхгофа записывается для замкнутого контура, составленного из нескольких ветвей, в каждой из которых выбрано свое направление тока. Учитывая направление обхода контура, сопоставляя его с направлениями токов в ветвях и переходя к изображениям по Лапласу всех переменных, составляем уравнение по II закону Кирхгофа, в котором в левой части записываются все падения напряжения на пассивных элементах контура (включая падение напряжения от взаимоиндуктивностей), а в правой части  все действующие в контуре внешние ЭДС и все внутренние ЭДС за счет докоммутационных запасов энергии в индуктивности и емкости. В общем виде II закон Кирхгофа в операторной форме можно записать

. (7.3.9)

Таблица эквивалентных преобразований элементов