Достатність.
Нехай
всі характеристичні корені матриці
знаходяться в полі
.
Нехай нерівними
інваріантними множниками матриці
будуть
(9).
Тоді
.
Дійсно, визначники матриці
і її канонічної матриці можуть відрізнятися
один від одного тільки сталим множником,
який насправді дорівнює
,
оскільки саме такий старший коефіцієнт
характеристичного многочлена
.
Таким чином:
серед многочленів (9) немає рівних 0;
сума степенів цих многочленів рівна ;
всі вони розкладаються над полем на лінійні множники (тому, що за умовою многочлен володіє таким розкладом).
Нехай
(8) будуть розклади многочленів (9) в
добутки степенів лінійних множників.
Назвемо елементарними дільниками
многочлена
відмінні від
степені різних лінійних двочленів, які
входять в його розклад (4), тобто
.
Елементарні дільники всіх многочленів
(9) називаються елементарними дільниками
матриці
.
Випишемо їх у вигляді таблиці (7).
Утворимо
тепер жорданову матрицю
порядку
,
складену із жорданових кліток, які
визначаються так: кожному елементарному
дільнику
матриці
ставимо у відповідність жорданову
клітку порядку
,
яка відноситься до числа
.
Очевидно, що нерівними 1 інваріантними
множниками матриці
теж будуть многочлени (9) і тільки вони.
Тому матриці
і
еквівалентні і, значить, матриця
подібна жордановій матриці
.▲
Наприклад:
Нехай
дана матриця
.
Зводячи звичайним способом матрицю
до канонічного вигляду, одержимо, що
нерівними
інваріантними множниками цієї матриці
будуть многочлени
і
.
Ми бачимо, що матриця
зводиться до жорданової нормальної
форми навіть в полі раціональних чисел.
Її елементарними дільниками є многочлени
,
а тому жордановою нормальною формою
матриці
є матриця
.
Необхідна і достатня умова зведення матриць до діагонального вигляду
На основі отриманих результатів може бути сформульована, нарешті, необхідна і достатня умова звідності матриць до діагонального вигляду.
Теорема
4.
Матриця
порядку
з елементами з поля
зводиться до діагональ-ного
вигляду тоді і тільки тоді, якщо усі її
характеристичні корені (або всі корені
останнього інваріантного множника
її характеристичної матриці) знаходяться
в полі
,
причому серед цих коренів немає кратних.
Доведення:
Дійсно, звідність матриці до діагонального вигляду рівносильна звідності до такого жорданового вигляду, всі жорданові клітки якого мають порядок . Іншими словами, всі елементарні дільники матриці повинні бути многочленами 1-го степеня. Оскільки, однак, всі інваріантні множники матриці являються дільниками многочлена , то остання умова рівносильна тому, що всі елементарні дільники многочлена мають степінь , що й треба довести.▲