Доведення:

Скористаємось методом математичної індукції.

Ясно, що достатньо розглянути випадок .

Оскільки многочлени – взаємно прості, то в кільці існують многочлени і , такі що . Тому

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ,

що й треба довести.▲

Розглянемо тепер характеристичну матрицю

(6)

для жорданової матриці . Тут – одинична матриця того ж порядку, що й клітка .

Нехай жорданові клітки матриці відносяться до таких різних чисел: , де .

Нехай до числа відноситься жорданових кліток і нехай порядки цих кліток (якщо їх розмістити в незростаючому порядку) будуть . (*)

Застосовуючи елементарні перетворення до тих рядків і стовпців матриці, які проходять через клітку цієї матриці, ми не будемо зачіпати, звичайно, інших діагональних кліток. Тому в матриці (6) можна за допомогою елементарних перетворень кожну клітку замінити відповідною канонічною кліткою вигляду (5). Іншими словами, матриця еквівалентна діагональній матриці, на діагоналі якої (крім деякої кількості одиниць) знаходяться також деякі многочлени, які відповідають всім жордановим кліткам :

(7)

Ми не вказуємо, на яких місцях на діагоналі знаходяться ці многочлени, бо в будь-якій діагональній матриці діагональні елементи можна довільно переставляти з допомогою перестановок рядків і однойменних стовпців.

Нехай – найбільше серед чисел . Позначимо через добуток многочленів, які знаходяться в -му стовпці таблиці (7) :

. (8)

Якщо при цьому в -му стовпці є порожні місця (для деяких може виявитись, що ), то відповідні множники в (8) вважаються рівними . Оскільки числа за умовою різні, то степені лінійних двочленів, що знаходяться в -му стовпці таблиці, попарно взаємно прості. Тому (на основі теореми 2) вони з допомогою елементарних перетворень можуть бути замінені в розглядуваній діагональній матриці їх добутком і деякою кількістю одиниць. Проробивши це для всіх , одержимо:

.

Це і буде шуканий канонічний вигляд характеристичної матриці . Дійсно, старші коефіцієнти всіх многочленів, які знаходяться на головній діагоналі, рівні , і кожний з цих многочленів націло ділиться на попередній із-за умови (*).

Приклад: Знайти канонічний вигляд характеристичної до матриці J.

Нехай .

Для цієї жорданової матриці 9-го порядку таблиця многочленів має вигляд:

.

Тому інваріантними множниками матриці будуть многочлени , тоді як .

Шуканий канонічний вигляд .

Із означення подібності матриць і з побудови канонічного вигляду характеристичної до жорданової матриці випливає очевидний висновок: дві жорданові матриці подібні тоді і тільки тоді, якщо вони складаються із одних і тих же жорданових кліток (тобто відрізняються тільки розміщенням цих кліток вздовж головної діагоналі).

Із цього твердження випливає:

1. жорданова нормальна форма визначається для матриці однозначно (з точністю до розміщення жорданових кліток вздовж головної діагоналі);

2. жорданова матриця, подібна до діагональної матриці, сама діагональна;

3. дві діагональні матриці подібні тоді і тільки тоді, якщо вони отримуються одна з одної перестановкою чисел, які знаходяться на головній діагоналі.

Необхідна і достатня умова зведення матриць до жорданової нормальної форми

Теорема 3. Кожна квадратна матриця порядку з елементами з поля зводиться в полі до жорданової нормальної форми тоді і тільки тоді, якщо всі характеристичні корені матриці знаходяться в полі .

Доведення:

Необхідність.

Якщо матриця зводиться до жорданової нормальної форми, тобто подібна жордановій матриці , то ці дві матриці володіють одними і тими ж характеристичними коренями, бо їх характеристичні матриці еквівалентні. Характеристичні корені матриці шукаються без труднощів: оскільки визначник матриці дорівнює добутку її елементів, що знаходяться на головній діагоналі, то многочлен розкладається над полем на лінійні множники і його коренями служать числа , що знаходяться на головній діагоналі матриці , і тільки вони (а вони є елементами поля ). Тобто характеристичні корені матриці теж належать .