2. Приклади типових завдань, що виносяться на іспит.

Задача 1. Визначте ЧДД та визначте найбільш ефективний за даним критерієм інноваційний проект.

Проекти	Доходи по роках			Капітальні витрати по роках			Поточні витрати по роках			Дисконт % річних
	1	2	3	1	2	3	1	2	3
Проект 1	260	360	360	300	50	50	130	130	130	30
Проект 2	280	510	510	180	270	300	120	140	140	40

Розв’язання. Для розрахунку ЧДД скористаємося формулою [7, с.200]

де В_і – доходи і-того періоду;

С_і – витрати і-того періоду;

d – ставка дисконту.

Чистий дисконтований дохід для першого проекту:

ЧДД₁ =

ЧДД₂ =

Відповідь: Найбільш ефективним за даним критерієм є другий проект, ЧДД якого дорівнює 87.

Задача 2. Визначте строк окупності та визначте найбільш ефективний за даним критерієм інноваційний проект (див. Умови попередньої задачі).

Розв’язання. Для розрахунку скористаємося методом приблизної оцінки строку окупності:

Де t – останній період реалізації проекту, при якому різниця накопиченого дисконтованого доходу і дисконтованих витрат приймає негативне значення.

DD_(t-) – остання негативна різниця накопиченого дисконтованого доходу та дисконтованих витрат

DD_(t+) – перша позитивна різниця накопиченого дисконтованого доходу та дисконтованих витрат.

Розрахунки для першого проекту:

ЧПВ₂ = -170 + 138,5 = - 31,5

ЧПВ₃ = -31,5 + 106,5 = 75

Отже термін окупності першого проекту:

Розрахунки для другого проекту:

ЧПВ= -20+71,4=51,4

Відповідь: найбільш ефективним за даним критерієм є другий проект, строк окупності якого дорівнює 1,3 роки.

Задача 3. Визначте індекс доходності та визначте найбільш ефективний за даним критерієм проект (див. умови першої задачі).

Розв’язання. Індекс доходності визначають як співвідношення сумарних дисконтованих грошових доходів до сумарних дисконтованих витрат (в основному на капітальні витрати) за формулою [7, с.201]:

.

Визначимо індекс доходності для першого проекту:

DD₁=

DK₁ =

ІД₁ =

Для другого проекту:

DD₂ =

DK₂ =

ІД₂ =

Відповідь: більш ефективний за даним критерієм перший проект, індекс доходності якого дорівнює 1,2.

Задача 4. Визначте середньорічну рентабельність та визначте найбільш ефективний за даним критерієм проект (див. умови першої задачі).

Середньорічна рентабельність (СР) інвестицій є різновидом індексу доходності (відповідає показнику ROI – Return of Investment), співвіднесена зі строком реалізації проекту і визначає який дохід надає кожна, вкладена в проект гривня інвестицій, тому використовується для порівняння альтернатив інвестицій. Для розрахунку користуються формулою:

СР =

Де ІD – це індекс доходності;

n – це кількість років реалізації проекту.

Для вирішення задачі спочатку розраховується індекс доходності (див. задачу 3), а потім за наведеною формулою розраховують середньорічну рентабельність.

Для першого проекту:

Для другого проекту:

Відповідь: найбільш ефективний за даним критерієм перший проект, середньорічна рентабельність якого 6,7%.

Задача 5. Визначте рівень чутливості/стійкості менш ризикованого за даним показником проекту.

Показник	1 проект	2 проект
Ціна за одиницю продукції, грн.	250	300
Гранична ціна за одиницю Продукції, грн.	220	270

Розв’язання. Показники стійкості та чутливості пов’язані між собою. Тому, розрахувавши стійкість (надано в умові) проекту по даному фактороутворюючому показнику, можна визначити чутливість як відносне відхилення (%Ч), [7, с.207]:

%Ч =

де Х – вихідне значення фактороутворюючого показника;

х – значення фактороутворюючого показника, який визначає рівень стійкості проекту.

Якщо %Ч>10%, проект вважається нечутливим до зміни показника, якщо %Ч<10%, то проект чутливий до зміни показника.

Розрахунки чутливості для першого проекту:

Розрахунки чутливості для другого проекту:

Відповідь: рівень чутливості менш ризикованого по показнику “ціна за одиницю продукції” проекту дорівнює 12% (перший проект).

Задача 6. Визначте коефіцієнт фактичної результативності роботи ЦНДЛ за наступних даних: в ЦНДЛ виконувалися 5ДКР протягом 5 років. Обсяги інвестицій по роках наведені в таблиці:

Роки	1	2	3	4	5
Обсяги інвестицій, тис. грн.	10800	11000	11200	11300	11400

Фактичні витрати по трьом успішно завершеним ДКР склали:

Номери тем	І	ІІ	ІІІ
Фактичні витрати, тис. грн.	8302	11901	15012

Витрати по незавершеним роботам на початок періоду склали 10506 тис. грн., на кінець періоду – 16202 тис. грн.

Розв’язання. Для розрахунку слід скористатися формулою, наведеною в [1, с.460]:

r = (8302 + 11901 + 15012)/[(10800 + 11000 + 11200 + 11300 + 11400) – (16202 – 10506)] = 0,7

Відповідь: коефіцієнт фактичної результативності ЦНДЛ дорівнює 0,7.

Задача 7. Визначте шанс інвестора, що фінансує створення нової продукції (тобто ймовірність отримання ним бажаного результату від замовлених ДКР), якщо відомо, що коефіцієнти фактичної результативності науково-технічної діяльності двох організацій складають відповідно 0,6 та 0,5.

Ймовірність отримання позитивних результатів при конкурсному вирішенні проблеми розраховується по формулі складання (об’єднання) подій, направлених на досягнення цілі. При конкурсному виконанні робіт двома науково-технічними організаціями з коефіцієнтами результативності r₁ та r₂ ймовірність (шанс інвестора) визначають за формулою:

P(с) = 0,6 + ),5 – 0,6*0,5 = 0,8

Відповідь: шанс інвестора дорівнює 0,8.

Задача 8. Визначте шанс інвестора, який фінансує створення нової продукції і на конкурсній основі замовив ДКР трьом науково-дослідним організаціям, якщо відомо, що коефіцієнт фактичної результативності науково-технічної діяльності цих організацій дорівнює відповідно 0,4, 0,5 та 0,6.

Якщо в конкурсному виконанні робіт приймають участь три науково-технічні організації, то ймовірність отримати позитивні результати (шанс інвестора) оцінюють за формулою:

За умовами задачі розрахунок шансу:

P(c) = 0,4 + 0,5 + 0,6 – 0,4*0,5 – 0,6*0,4 – 0,5*0,6 + 0,4*0,5*0,6 = 0,88

Відповідь: шанс інвестора, який фінансує створення нової техніки дорівнює 0,88.

Задача 9. Виберіть з наведених один найбільш ефективний інноваційний проект, використовуючи метод рівномірної оптимізації.

Науково-технічним підрозділом та плановим відділом підприємства розглядається шість альтернативних інноваційно-інвестиційних проектів, для кожного з яких розраховано числові показники таких критеріїв ефективності як ЧДД, ІД та термін окупності Т_ок . Результати цих розрахунків наведено в таблиці.

Таблиця 1

Номер варіанта J=1	ЧДД тис. грн.	ІД	Ток , роки
1	390	1,20	2,5
2	410	1,24	2,4
3	420	1,26	2,3
4	470	1,21	3,1
5	500	1,18	2,6
6	520	1,19	2,7

Розв’язання. Для вирішення задач подібного типу потрібно розробити багатокритеріальну економіко-математичну модель (ЕММ) [15, с.357]. Для формалізації задачі введемо необхідні позначення:

i- код цільової функції (i = 1, ... ,n).

j - номep альтернативного варіанту інноваційного проекту (j = 1,…,m); .

- множина j-x варіантів інноваційних проектів;

X_j - оптимальний варіант інноваційного проекту;

- критерій оптимальності.

Необхідно обрати з деякої множини альтернативних інноваційних проектів оптимальний варіант X_j, який би задовольняв наступним умовам:

, (j = 1,…,m) (1)

(2)

(3)

(4)

Нерівність (1) відображає ті значення цілочисельної змінної, які можуть приймати участь в економічній експертизі інноваційні бізнес-проекти

Цільова функція (2) відображає вимогу максимізації величини показника ЧДД, цільова функція (3) – вимогу максимізації величини показника ІД, а цільова функція (4) – вимогу мінімізації терміну окупності згідно варіанта інноваційного проекту, який визначається.

В зв’язку з тим, що критерії оптимальності ЧДД, ІД та терміну окупності мають різну економічну природу та різні одиниці виміру, то першим кроком необхідно провести процедуру нормалізації (тобто приведення до безрозмірних величин). Для цього використовують відомою формулою нормалізації критеріїв:

, (5)

де - нормалізоване значення j-гo критерію по досліджуваному варіанту інноваційного проекту;

- поточне значення відповідного критерію оптимальності за варіантом, що розглядається;

; - відповідно мінімальне та максимальне значення досліджуваного критерію оптимальності.

Виконаємо необхідні розрахунки з метою отримання нормалізованих значень трьох критеріїв за першим варіантом інноваційного проекту:

; ;

Результати розрахунків по всім інноваційним проектам наведено в таблиці 2.

Таблиця 2

Результати розрахунків нормалізованих значень критеріїв оптимальності по альтернативним проектам

Номер варіанту (J=1)	Безрозмірні величини критеріїв оптимальності
1	0	0,25	0,25
2	0,1538	0,75	0,125
3	0,2308	1	0
4	0,6154	0,375	1
5	0,8462	0	0,375
6	1	0,125	0,5

Видно, що два перші критерії максимізуються, а третій – мінімізується. Тому для збереження єдності критеріїв оптимізації (всі максимізуються) помножимо на –1 безрозмірні величини третього критерію і отримані результати представимо в таблиці 3.

Таблиця 3

Числові значення критеріїв з однаковим напрямком оптимізації

Номер варіанту (J=1)	Безрозмірні величини критеріїв оптимальності
1	0	0,25	-0,25
2	0,1538	0,75	-0,125
3	0,2308	1	0
4	0,6154	0,375	-1
5	0,8462	0	-0,375
6	1	0,125	-0,5

Після проведення процедур нормалізації та збереження єдності критеріїв визначимо найбільш ефективний проект за методом рівномірної оптимізації. Принципом даного методу є визнання, що всі критерії оптимальності є економічно рівноцінними. Найкращим вважають варіант, коли сумарна величина всіх числових значень цільових функцій приймає максимальне значення [15, с.359]:

.

Розраховуємо сумарні значення безрозмірних величин критеріїв за всіма альтернативними варіантами інноваційних проектів представлено в таблиці 4.

Таблиця 4

Сумарні значення безрозмірних величин критеріїв за всіма альтернативними інноваційними проектами

Номер варіанту J=1	Безрозмірні величини критеріїв оптимальності			Сумарне значення безрозмірних величин
1	0	0,25	-0,25	0
2	0,1538	0,75	-0,125	0,7788
3	0,2308	1	0	1,2308
4	0,6154	0,375	-1	-0,0096
5	0,8462	0	-0,375	0,4712
6	1	0,125	-0,5	0,625

Відповідь: з приведених в таблиці 4 розрахунків видно, що економічно найбільш ефективним за методом рівномірної оптимізації є третій варіант з альтернативних інноваційних проектів.

Задача 10. Виберіть з наведених в таблиці 1 один найбільш ефективний інноваційний проект, використовуючи метод справедливого компромісу (дивіться умови попередньої задачі).

Розв’язок: Для вирішення задачі скористаємося розрахунками оптимізації та збереження єдності критеріїв оптимізації. Візьмемо за основу таблицю 3 і звільнимося від негативних значень, додавши одиницю до кожного значення в останньому стовпці. Тоді таблиця набуде такого вигляду:

Таблиця 5

Уточнені дані нормалізованих критеріїв за альтернативними інноваційними проектами

Номер варіанту (J=1)	Безрозмірні величини критеріїв оптимальності
1	0	0,25	0,75
2	0,1538	0,75	0,875
3	0,2308	1	1
4	0,6154	0,375	0
5	0,8462	0	0,625
6	1	0,125	0,5

Формула для розрахунку за методом справедливого компромісу має вигляд [15, с.361]:

.

Тобто необхідно знайти добуток безрозмірних нормалізованих величин критерії оптимальності проектів, які наведені в таблиці 6.

Таблиця 6

Номер варіанту J=1	Безрозмірні величини критеріїв оптимальності			Добуток безрозмірних величин критеріїв оптимальності
1	0	0,25	0,75	0
2	0,1538	0,75	0,875	0,1009
3	0,2308	1	1	0,2308
4	0,6154	0,375	0	0
5	0,8462	0	0,625	0
6	1	0,125	0,5	0,0625

Відповідь: з наведених в таблиці 6 розрахунків видно, що економічно найбільш ефективним за методом справедливого компромісу є третій варіант з альтернативних інноваційних проектів.

Задача 11. Виберіть з наведених в таблиці 1 один найбільш ефективний інноваційний проект, використовуючи метод, що заснований на визначенні сумарного за всіма критеріями відхилення від ідеальної точки (дивіться умови задачі 9).

Згідно інформації, наведеної в таблиці 5, визначимо ідеальні (оптимальні) нормалізовані значення по кожному з трьох критеріїв оптимальності:

Формула для розрахунків за цим методом має вигляд [15, с.361]:

дe - відхилення числового значення i-го критерію по по j-му варіанту від ідеальної точки.

Після виконання необхідних розрахунків отримаємо матрицю відхилень числових значень критеріїв від ідеальної точки (таблиця 7).

Таблиця 7

Матриця відхилень числових значень критеріїв від ідеальної точки

Номер варіанту J=1	Відхилення від ідеальної точки			Сумарне відхилення від ідеальної точки
1	1 (1-0)	0,75(1-0,25)	0,25(1-0,75)	2
2	0,8462	0,25	0,125	1,2212
3	0,7692	0	0	0,7692
4	0,3846	0,625	1	2,0096
5	0,1538	1	0,375	1,5288
6	0	0,875	0,5	1,375

Відповідь: як видно з таблиці 7 третій варіант інноваційного проекту є оптимальним при застосуванні методу відхилення від ідеальної точки.

Задача 12. Виберіть з наведених в таблиці 1 один найбільш ефективний інноваційний проект, використовуючи метод згортання критеріїв (дивіться умови задачі 9).

Якщо головним принципом попередніх методів визначення коефіцієнтів важливості критеріїв був принцип їх рівноцінності, то особливістю даного методу є диференціація оцінки коефіцієнтів важливості кожного з включених в економіко-математичну модель критеріїв.

Для нашого випадку скористаємося експертним методом нормування коефіцієнтів важливості різних критеріїв. Зокрема, внаслідок опитування визначено, що ЧДД, ІД та Т_ок були присвоєні такі вагові коефіцієнти як 0,4; 0,4; 0,2 (відповідно .

Для вибору економічно найбільш ефективного інноваційного проекту використовується формула [15, с.363]:

,

де ai – коефіцієнт важливості по i-тому критерію,

- числові значення нормалізованого по i-тому критерію j-того варіанту.

Числові значення нормалізованих критеріїв оптимальності по альтернативним варіантам інноваційних проектів наведені в таблиці 8 (для розрахунків скористаємося даними таблиці).

Таблиця 8

Оцінка зважених нормалізованих критеріїв оптимальності альтернативних варіантів інноваційних проектів

Номер варіанту J=1	Безрозмірні величини критеріїв оптимальності			Сумарне значення безрозмірних величин
1	0 (0*0,4)	0,1(0,25*0,4)	-0,05 (-0,25*0,2)	0,05
2	0,0615	0,3	-0,025	0,3365
3	0,0923	0,4	0	0,4923
4	0,2462	0,15	-0,2	0,1962
5	0,3385	0	-0,075	0,2635
6	0,4	0,05	-0,1	0,35

Відповідь: з наведених в таблиці 8 розрахунків видно, що економічно найбільш ефективним за методом згортання критеріїв є третій варіант з альтернативних інноваційних проектів.