10. Изгиб прямого бруса.

Ранее было показано, что деформация изгиба характеризуется возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов и часто – поперечных сил.

При возникновении в сечении бруса только изгибающих моментов, изгиб называют чистым. Если кроме изгибающих моментов возникают поперечные силы, то изгиб называют поперечным.

Деформация изгиба имеет место в результате действия внешних сил, приложенных перпендикулярно к оси бруса. Другим условием возникновения деформации изгиба является действие на брус пары сил действующих в плоскости проходящей через ось бруса. Третьим условием возникновения является одновременное действие двух названных условий.

Внешние силы обычно представляют собой результат действия отдельных частей конструкции, опирающихся на данный брус. Их можно свести к сосредоточенным силам, равномерно или неравномерно распределенным по длине руса нагрузкам и парам сил.

В общем задача изучения плоского изгиба сводится к следующему:

Изучению внутренних сил, возникающих в сечении балки;

Установлению закона распределения внутренних сил (напряжений) по сечению;

Выводу формул для определения напряжений и для подбора сечений балок;

Изучению линейных и угловых перемещений – прогибов и углов поворота поперечных сечений балок.

Рассмотрим брус свободно лежащий на двух опорах, который находится под действием двух сил F₁ и F₂, расположенных в плоскости ее симметрии. Отбросим опоры и заменим их силами реакции F_р1 и F_р2. Определим возникающие при этом внутренние силы при помощи метода сечений.

Сечением 1-1 на расстоянии z от левой опоры рассечем брус на две части, отбросив правую рассмотрим условие равновесия оставшейся части. Очевидно, что действие внутренних сил будет эквивалентно действию отброшенной части бруса на оставшуюся. Заменим действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами, равнодействующая которых рассоложена в плоскости действия внешних сил F_р1 и F₁. Рассмотрев уравнения равновесия, можно показать, что внутренние силы в рассматриваемом сечении приводятся к силе Q_y и паре сил с моментом М_х.

Q_y=F_p1-F₁; M_x=F_p1z-F₁(z-a)

Проекция равнодействующей внутренних сил в сечении на ось, перпендикулярную к оси бруса, называется поперечной силой в рассматриваемом сечении и обозначается Q_y или Q.

Момент равнодействующей внутренних сл относительно центра тяжести рассматриваемого сечения называется изгибающим моментом.

Исходя из условия равновесия можно сделать вывод: поперечная сила в рассматриваемом сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону сечения, на ось, перпендикулярную к оси бруса.

Изгибающий момент в рассматриваемом сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону сечения, относительно его центра тяжести.

Для выяснения какие напряжения в сечениях бруса будут соответствовать указанным силовым факторам (поперечной силе и крутящему моменту) рассмотрим простейший опыт. Возьмем резиновый брусок прямоугольного сечения, нанеся предварительно на нем продольную линию, и ряд поперечных параллельных между собой линий. Приложим к концам бруса две равные, расположенные в одной плоскости, но противоположные по направлению пары сил с моментом М. В результате опыта оказывается, сто поперечные параллельные линии остались прямыми и нормальными к оси бруса; расстояния между концами на выпуклой стороне увеличились, а на вогнутой уменьшились; расстояния между ними посредине оси балки остались прежними; ширина поперечного сечения сжатой зоны балки увеличилась, а растянутой уменьшилась.

На основе этих опытных данных можно сделать заключение о том, что на выпуклой стороне руса имеет место растяжение, а на вогнутой сжатие. Следовательно, в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения. Слой волокон расположенный в середине высоты бруса, не меняет своей длины, а только искривляется. Такой слой называется нейтральным слоем. Нейтральный слой в брусе, испытывающем чистый изгиб, расположен в плоскости, проходящей через центр тяжести сечения.

Опытным путем установлено, что волокна бруса при изгибе испытывают только растяжение и сжатие. Следовательно, для определения нормального напряжения можно воспользоваться законом Гука.

Произведя ряд математических преобразований на основе теории сопротивления материалов, можно получить формулу:

1/ρ – кривизна изогнутой оси бруса;

EJ_x – жесткость сечения бруса;

Данное равенство читается следующим образом: кривизна изогнутой оси бруса прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости сечения бруса.

И далее формулу для определения нормальных напряжений в симметричных сечениях бруса:

Величина W_x называется осевым моментом сопротивления сечения и является геометрической характеристикой поперечного сечения бруса, определяющей его прочность при изгибе. Данная величина рассчитана для часто применяемых сечений и приводится в справочниках.

Величина осевого момента сопротивления входит в формулу для нормальных напряжений в знаменатель, следовательно, чем больше его значение, тем прочнее брус. С точки зрения экономии материала наиболее рациональными будут сечения, у которых при меньшей площади будут большие моменты сопротивления. Так например более выгодным будет прямоугольное сечение, у которого высота больше ширины, чем квадратное той же площади.

Как было показано напряжения вблизи нейтральной оси незначительны, поэтому целесообразно сосредоточить материал вдали от нее. С этой целью применяют балки в форме швеллера или двутавра. Распространено применение кольцевого сечения.

Для некоторых сечений повышения момента сопротивления можно добиться не увеличением высоты сечения, а наоборот путем ее уменьшения. Например, для круглого сечения момент сопротивления может увеличится если срезать сегменты на высоту 0,11d.

Кроме нормальных напряжений при изгибе имеют место также и касательные напряжения. Действуют они по площадкам параллельным нейтральному слою. Величину касательных напряжений определяют по формуле:

Q – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

J_x – момент инерции относительно нейтральной оси всего поперечного сечения бруса;

S_x – статический момент относительно нейтральной оси той части поперечного сечения, которая лежит выше или ниже рассматриваемой площадки;

b – ширина сечения на уровне площадки, по которой определяются касательные напряжения.