1.3. Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами точек на плоскости

В некоторых случаях приходится пользоваться одновременно декартовыми прямоугольными и полярными координатами точек. Установим связь между ними.

Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат Оху и полярную систему, у которой полюс совпадает с началом координат точкой О, а полярная ось ОР совпадает с осью абсцисс.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим (х;у) её прямоугольные декартовы координаты, а полярные .

Из соотношений в прямоугольном треугольнике ОРМ (рис.5) имеем:

(1)

Формула (1) выражает прямоугольные декартовы координаты точки через полярные (т.е. по известным полярным координатам можно найти декартовы).

Из соотношений (1) имеем: . Следовательно,

(2)

Так как , заметим, что знак должен быть одинаков со знаком у, а знак со знаком х.

Для вычисления угла можно воспользоваться следующими формулами

(3)

Формулы (2) и (3) позволяют определять полярные координаты точки по её декартовым координатам.

2. Некоторые линии в полярной системе координат

И ИХ ПОСТРОЕНИЕ

О п р е д е л е н и е 8. Линией, определяемой уравнением , называется геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению .

2.1 Окружность

О п р е д е л е н и е 9. Окружность - замкнутая плоская кривая все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей на той же плоскости, что и кривая.

Уравнения окружностей в ПСК получены путем применения формул (1) перехода от декартовой системы координат к полярной. Например, составим уравнение окружности в полярных координатах. Применим формулы (1)

Т а б л и ц а 1

Расположение окружности

Уравнение в ДПСК	Уравнение в ПСК	Чертеж
1. Окружность с центром в начале координат радиуса R
2. Окружность со смещенным вдоль оси Ох центром
3. Окружность со смещенным вдоль оси Оу центром

0. 2.2 Спираль Архимеда

Спираль (от франц. spirale, латинского spira – виток) – плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от нее.

О п р е д е л е н и е 10. Спираль Архимеда - плоская кривая, определяемая в ПСК уравнением .

Кривая состоит из двух ветвей, соответствующих положительным и отрицательным значениям (рис.6).

Кривая названа в честь великого древнегреческого ученого Архимеда (IIIв до н.э.), впервые изучившего эту кривую. Полному обороту соответствует одно и то же смещение, называемое шагом архимедовой спирали.