Лабораторная работа №5. «Двумерные случайные величины.».

Теоретическая часть.

Функцией распределения системы случайных величин (Х₁, Х₂,…, Х_n) называется вероятность того, что в результате испытания наступит событие (Х₁<x₁, X₂<x₂,…, X_n<x_n).

Для системы двух случайных величин (ξ, η) функция распределения имеет вид

F(x, y)=P(X<x, Y<y), где (х, у) – фиксированная точка области D.

Зная совместное распределение (ξ, η) можно определить распределение каждой составляющей.

η ξ	y1	y2	…	ym
x1	p11	p12	…	p1m
x2	p21	p22	…	p2m
…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	…	pnm

Можно найти распределение каждой из случайных величин ξ и η по формулам:

- суммирование по строкам; - суммирование по столбцам.

Обратную задачу восстановления совместного распределения (ξ, η) по распределениям ξ, η возможно, если случайные величины ξ, η независимы, то есть для них выполняется

F_ξ,η(x, y)=F_ξ (x)F_η (y)

Условным распределением составляющей случайной величины ξ при условии, что случайная величина η приняла значение η=у_j называется следующее распределение

ξ/η=yj	x1	x2	…	xm
p(X=xi/Y=yj)	p1,j/py,j	p2,j/py,j	…	pm,j/py,j

В условиях предыдущего примера найдем условное распределение случайной величины ξ при условии, что η=0:

Случайный вектор (ξ,η) – называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция р_ξ,η(х,у), что для любого прямоугольника на плоскости (х,у) вероятность события (ξ,η) Ω равна

, где р_ξ,η(х,у) – совместная плотность распределения.

=1

Плотность распределения компонент равны:

,

Условные плотности распределений ξ при условии, что η=у₀ и η при условии, что ξ=х₀ определяются соответственно формулами:

,

Пример. Пусть двумерная случайная величина распределена равномерно в круге . Тогда плотность совместного распределения равна

Плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:

,

Условная плотность распределения случайной величины ξ при условии, что случайная величина η=0, равна

Условная плотность распределения случайной величины ξ при условии, что случайная величина η=0,5, равна

Видно, что условное распределение случайной величины ξ зависит от значения, которое примет величина η. Это приводит к мысли, что величины ξ и η зависимы.

Теоретические вопросы.

1. Что называется законом распределения системы случайных величин.

1. Перечислите основные свойства функции распределения.

2. Дайте определение и перечислите основные свойства плотности распределения.

3. Как определяются плотности распределения составляющих системы.

4. Сформулируйте признак независимости составляющих системы.

5. Как определяются условные плотности составляющих системы.

Практическая часть.

Задание №1. Задайте совместное распределение двух случайных величин, определенных на множестве из n и m значений соответственно, с помощью функций rnd(x). Найдите распределение каждой из них и все их условные распределения. Постройте многоугольники соответствующих распределений. Сделайте выводы о независимости компонент, предложите такое изменение совместного распределения, чтобы его компоненты стали независимыми.

Задание №2. Вычислите распределение компонент двумерной случайной величины и их условные распределения, если эта случайная величина распределена равномерно в области .

Варианты заданий к лабораторной работе №5.

Вариант №1.

Задание №1. n=2 , m=5 , x=3 .

Задание №2. a=1 , b=2 .

Вариант №2.

Задание №1. n=3 , m=4 , x=7 .

Задание №2. a=1,2 , b=2,3 .

Вариант №3.

Задание №1. n=4 , m=4 , x=10 .

Задание №2. a=2 , b=4 .

Вариант №4.

Задание №1. n=8 , m=5 , x=6 .

Задание №2. a=2,2 , b=4,4 .

Вариант №5.

Задание №1. n=7 , m=5 , x=4 .

Задание №2. a=1,5 , b=2,5 .

Вариант №6.

Задание №1. n=8 , m=7 , x=9 .

Задание №2. a=2,5 , b=3,5 .

Вариант №7.

Задание №1. n=3 , m=5 , x=12 .

Задание №2. a=3,5 , b=4,5 .

Вариант №8.

Задание №1. n=5 , m=4 , x=8 .

Задание №2. a=4,5 , b=5,5 .

Вариант №9.

Задание №1. n=4 , m=5 , x=11 .

Задание №2. a=5,5 , b=6,5 .

Вариант №10.

Задание №1. n=6 , m=4 , x=9 .

Задание №2. a=6,5 , b=7,5 .