Лабораторная работа №2. «Геометрическое определение вероятности».

Теоретическая часть.

Пусть Ω – множество точек конечной меры (длины, площади, объема), А – некоторое подмножество множества Ω. Тогда вероятность случайного события А будет определяться по формуле

где mesA–мера подмножества А, mes Ω­–мера множества Ω.

Это определение можно рассматривать как обобщение классического определения вероятности на случай несчетного числа исходов.

Пример решения задачи Бюффона в среде MathCad:

Пример отыскания вероятности попадания точки в фигуру, ограниченную линиями, на примере одной из областей:

Теоретические вопросы.

1. Чему равна вероятность попадания в одну точку фигуры с классической точки зрения.

1. Чему равна вероятность попадания в часть отрезка L.

2. Чему равна вероятность попадания в часть плоской фигуры.

3. Чему равна вероятность попадания в часть пространственной фигуры.

4. В каждом практическом задании определите, какому событию соответствует попадание точки в каждую из полученных областей.

5. Свойства геометрической вероятности.

Практическая часть.

Задание №1. Решить задачу Бюффона с заданными для своего варианта параметрами a и l.

Задание №2. Решить задачу №2 своего варианта геометрическим способом.

Задание №3. Найти вероятность попадания точки в каждую из областей, ограниченных линиями из задачи №3.

Варианты заданий к лабораторной работе №2.

Вариант №1.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 4.5. На плоскость наудачу бросают иглу длины 6. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. На отрезке ОА длины 4 числовой оси Ох поставлены наудачу две точки В(х) и С(у), причем у≥х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС больше длины отрезка АC. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок не зависит от длины отрезка и положения на числовой оси.

Задача №3. , 1≤х≤9, -1≤у≤2.

Вариант №2.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 3. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2.4. Найти вероятность, что игла не пересечет ни одну из прямых.

Задача №2. На отрезке ОА длины 4 числовой оси Ох поставлены наудачу две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок не зависит от длины отрезка и положения на числовой оси.

Задача №3. , 0,3≤х≤1,5, 0≤у≤2.

Вариант №3.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 8. На плоскость наудачу бросают иглу длины 10.6. Найти вероятность, что игла не пересечет ни одну из прямых.

Задача №2. Имеется магнитофонная лента длины 200 м, на обеих сторонах которой написаны сообщения, на одной 30 м, на другой – 50 м. Местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить участок длиной 10 м на расстоянии 80 м от начала. Найти вероятность того, что ни та, ни другая записи не повреждены.

Задача №3. , 5≤х≤7, -2≤у≤1.

Вариант №4.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 3.8. На плоскость наудачу бросают иглу длины 1.4. Найти вероятность, что игла пересечет одну из прямых.

Задача №2. По радиоканалу в течение промежутка времени (0;1) передаются два сигнала, длительностью 0.3 каждый. Каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент времени (0; 0.7). Если сигналы перекроют друг друга, то они искажаются, и не могут быть приняты. Найти вероятность того, что сигналы будут приняты.

Задача №3. , -1≤х≤1, -1≤у≤2.

Вариант №5.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 4. На плоскость наудачу бросают иглу длины 3.8. Найти вероятность, что игла пересечет одну из прямых.

Задача №2. Имеются две параллельные линии телефонной связи длиной 10 км, расстояние между которыми 1 км. Известно, что на каждой из линий есть где-то разрыв (его местоположение равновероятно в любой точке каждой из линий). Найти вероятность того, что расстояние между точками разрыва будет не больше 3 км.

Задача №3. , -1≤х≤1, -1≤у≤1.

Вариант №6.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6. На плоскость наудачу бросают иглу длины 8.4. Найти вероятность, что игла не пересечет ни одну из прямых.

Задача №2. Два теплохода Х и У могут подойти к причалу в любое время для разгрузки, продолжительность которой равна 6 часам. У причала может разгружаться только один теплоход. Найти вероятность того, что ни одному теплоходу не придется ждать освобождения причала, если время прихода для каждого теплохода равновероятно в течение суток.

Задача №3. , 0≤х≤2, 0≤у≤2.

Вариант №7.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 5. На плоскость наудачу бросают иглу длины 7.4. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. На отрезке ОА длины 14 числовой оси Ох поставлены наудачу две точки В(х) и С(у), причем у≥х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше 7. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок не зависит от длины отрезка и положения на числовой оси.

Задача №3. , 2≤х≤4, 0≤у≤2.

Вариант №8.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 7. На плоскость наудачу бросают иглу длины 9.4. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от12 до 13 часов).

Задача №3. , 1≤х≤3, 0≤у≤3.

Вариант №9.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 3.4. На плоскость наудачу бросают иглу длины 3.2. Найти вероятность, что игла пересечет одну из прямых.

Задача №2. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 12. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше 1, а частное х/у не больше 12.

Задача №3. , -1≤х≤1, 1≤у≤3.

Вариант №10.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2.8. На плоскость наудачу бросают иглу длины 3.4. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 10. Найти вероятность того, что разность х–у будет не больше 5, а частное у/х не меньше 0.05.

Задача №3. , 3≤х≤6, 0≤у≤1,5.