1.5. Модельная задача о просачивании воды сквозь песок

Пусть вода просачивается через песок сверху вниз. Направим ось вниз. Через обозначим плотность воды в песке в точке х в момент времени . Скорость движения воды очевидно, зависит от ее плотности, то есть , где есть заданная функция, причем возрастает вместе с .

Рассмотрим баланс воды в слое . За время изменение количества воды равно

Это изменение происходит за счет разности входящего потока

и выходящего потока

Таким образом получаем УМБ:

Предполагая наличие непрерывных частных производных у функции и дифференцируемость сложной функции , применим теорему о конечном приращении:

и. теорему о среднем для определенного интеграла

Получим, преобразуя левую и правую части УМБ,

то есть

Разделив последнее равенство на и устремив , в силу непрерывности всех членов соотношения получим уравнение

Используя правило дифференцирования произведения, один из множителей которого является сложной функцией, получим

где

И окончательно,

(9)

Типичными задачами для уравнения (9) являются как с заданным начальным условием:

(10)

так с граничным условием:

(11)

то есть задается (11) - плотность воды либо на границе слоя песка на все моменты времени, либо (10) - на всей глубине просачивания в начальный (фиксированный) момент времени.

В отличие от уравнений в частных производных первого порядка (1), (2), (3), называемых линейными, в которых как частные производные искомой функции, так и сама неизвестная функция входят линейно с постоянными коэффициентами, в уравнении (9) коэффициент при частной производной по х зависит от неизвестной функции. В силу этого обстоятельства уравнение (9) называется квазилинейным. Уравнение (8) из модельной задачи 4 не относится ни к линейным, ни к квазилинейным уравнениям, а является нелинейным, так как в нем присутствует квадрат частной производной, который входит в подкоренное выражение.

1.6. Модельная задача о динамике дорожного движения

Предположим, что автомобили движутся слева направо по скоростной автостраде, у которой нет боковых въездов и съездов.

Направим ось вдоль дороги. Обозначим через плотность автомобилей в точке х в момент времени - число авто, находящихся на расстоянии х от начала автострады в момент времени .

поток автомобилей в точке х - число авто, проезжающих в единицу времени через поперечное сечение дороги в точке х.

Покажем, что они удовлетворяют уравнению:

(12)

Составим УМБ, выражающий закон сохранения числа автомобилей для участка дороги .

С одной стороны, изменение числа автомобилей за единицу времени на равно

с другой стороны, применяя формулу Ньютона-Лейбница, -

Приравнивая эти два интеграла, получаем

Поскольку промежуток произволен, подынтегральные функции равны, то есть приходим к уравнению (12).

В задачах дорожного движения пользуются экспериментально найденной зависимостью потока автомобилей от плотности: В этом случае по правилу дифференцирования сложной функции

.

Значит (12) можно переписать следующим образом:

Пусть, например, зависимость потока от плотности квадратичная, то есть .

Тогда уравнение (12) принимает вид:

(13)

В динамике жидкости величина может обозначать плотность жидкости в точке, а - поток жидкости.