Завдання для самостійної роботи

А

1. Знайти стаціонарні точки функції:

а)

б)

в)

г)

2. Знайти екстремуми функції:

а)

б)

3. Дослідити функцію і побудувати її графік:

а) б) ; в) .

4. Знайти найбільше та найменше значення функції

а) на відрізку ;

б) на відрізку .

Б

1. Знайти проміжки зростання і спадання функції:

а)

б)

в)

г)

2. Вказати функцію, яка зростає на всій своїй області визначення:

а)

б)

в)

г)

3. Вказати функцію, стаціонарна точка якої є її точкою екстремуму:

а)

б)

в)

г)

4. Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Вказати функцію, яка в точці x₀ має максимум:

а)

б)

в)

г)

В

1. Число 64 представити у вигляді добутку двох додатних множників так, щоб сума їхніх квадратів була мінімальною.

2. Із циліндричного поліна діаметром D вирізати балку прямокутного перерізу так, щоб площа перерізу була най більшою.

3. У півкруг радіуса R вписати прямокутник найбільшого периметру.

4. Довести, що з усіх рівнобічних трикутників, вписаних у заданий круг, найбільший периметр має рівносторонній трикутник.

5. Потрібно виготовити відкритий циліндричний бак ємністю V. При якому радіусу основи на виготовлення бака витрачається найменша кількість матеріалу?

6. Дослідити функцію і побудувати її графік:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

З історії розвитку диференціального числення...

Розділ математики, в якому вивчаються похідні та їх застосування до дослідження функцій, називається диференціальним численням.

Термін „ похідна” є буквальним перекладом на російську французького слова derivee, яке ввів у 1797 році Ж. Лагранж ( 1736 - 1813); він же ввів сучасні позначення f ^', y ^'. Така назва відображає зміст поняття: функція

f ^' (x) походить від f (x), є похідною від f (x).

І. Ньютон називав похідну функцію флюксією, а саму функцію – флюентою. Г. Лейбніц говорив про диференціальне відношення і позначав похідну як df/dx. Це позначення також часто зустрічається в сучасній літературі.

Диференціальне числення, створене Ньютоном і Лейбніцом порівняно недавно, в кінці XVII ст. Тим дивовижніше, що задовго до цього Архімед розв’язав задачу на побудову дотичної до такої складної кривої, як спіраль. Епізодично поняття дотичної ( яке пов’язане з поняттям похідної ) зустрічалось у працях італійського математика Н. Тартальї

( бл. 1500 – 1557) – тут дотична з’явилася під час вивчення питання про кут нахилу гармати, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. І Кеплер розглядав дотичну під час розв’язування задачі про найбільший об’єм паралелепіпеда, вписаного в кулю даного радіуса.

У XVII ст. На основі вчення Г. Галілея про рух активно розвивалася кінематична концепція похідної. Видатну роль у розвитку математики диференціального числення відіграв французький математик П’єр Ферма (1601 – 1665).

Систематичне вчення про похідні розвинуто Лейбніцом і Ньютоном. Якщо Ньютон виходив в основному із задач механіки, то Лейбніц переважно виходив з геометричних задач.

Говорячи про наступний розвиток ідей аналізу ( а вони дуже швидко завоювали популярність і знайшли багатьох послідовників), слід насамперед назвати імена учнів Лейбніца – братів Бернуллі. Неоцінимий внесок у розвиток диференціального числення Л. Ейлера, К.Гауса, Лагранжа, О. Коші, Б. Больцано.

Французький мислитель Вольтер зауважив, що диференціальне числення є мистецтвом обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не можна довести.

Ідеї математичного аналізу захоплювали і Волинського математика, творця української науки початку XXI ст. Михайла Кравчука.

ДЛЯ ЗАМІТОК

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________