Завдання для самостійної роботи
А 1. Знайдіть похідні функцій:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
є)
;
ж)
;
з)
;
к)
;
л)
;
м)
.
2. Для
функції
знайти:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3. Обчислити значення похідної функції в точці x0, якщо:
а)
б)
в)
г)
Б
1. Знайдіть похідні функцій:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
2.
Розв’язати рівняння
,
якщо:
а)
;
б)
.
3. Знайти область визначення похідної функції:
а)
;
б)
.
4.
Розв’язати рівняння
,
якщо
.
В
Знайти точку графіка функції
,
у якій не можна побудувати до нього
дотичну.Знайти похідну функції:
а)
б)
в)
г)
д)
3.
Розв’язати нерівність
, якщо:
а)
;
б)
.
Тема: Зростання, спадання та екстремуми функцій.
ПЛАН:
Ознаки зростання і спадання функції.
Схема знаходження проміжків зростання та
спадання функції.
Стаціонарні точки.
Теорема Дарбу.
Теорема Ферма.
Достатні умови існування точок екстремуму.
За допомогою похідної можна встановити проміжки
зростання і спадання функції.
ОЗНАКА 1. Якщо f ' (x) > 0 на проміжку , то функція
f (x) зростає на цьому проміжку.
ОЗНАКА 2. Якщо f ' (x) < 0 на проміжку , то функція
f (x) спадає на цьому проміжку.
Проміжки зростання і спадання функції часто
називають проміжками монотонності цієї функції.
___________________________________________
СХЕМА №1
Знаходження проміжків зростання та спадання
функції можна виконувати за таким планом:
Знайти область визначення заданої функції y = f (x).
Знайти похідну f ' (x).
Розв`язати нерівності ( методом інтервалів):
а) f ' (x) > 0, вказати проміжки зростання функції
y = f (x);
б) f ' (x) < 0, вказати проміжки спадання функції
y = f (x).
_________________________________________________
ОЗНАЧЕННЯ 1. Внутрішні точки області визначення
функції, у яких похідна дорівнює нулю,
або не існує називаються критичними
(стаціонарними).
Ці точки розбивають область визначення функції на проміжки, в яких похідна зберігає сталий знак. ( Теорема Дарбу).
Розглянемо функцію y = f (x), яка визначена в деякому околі точки x0 і має похідну в цій точці.
ТЕОРЕМА ФЕРМА: Якщо x0 – точка екстремуму
диференційованої функції y = f (x),
то f ' (x0) = 0.
П`єр Ферма – французький математик ( 1601-1665)
Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: в
точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її
кутовий коефіцієнт f ' (x0) дорівнює нулю.
Усі точки екстремуму є стаціонарними ( обернене твердження невірне).
Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екстремуму ( максимуму або мінімуму функції).
ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x0, а
f ' (x) > 0 на інтервалі ( а; x0) і f ' (x) < 0 на
інтервалі ( x0; в), то x0 – точка максимуму.
ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x0, а
f ' (x) < 0 на інтервалі ( а; x0) і f ' (x) > 0 на
інтервалі ( x0; в), то x0 – точка мінімуму.
Або: якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „+” на „ -”, то ця стаціонарна точка є точкою максимуму;
якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „ -” на „+”, то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________